初三第一学期期末学业水平调研数学试卷学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线213yx 的顶点坐标为A ．1,3B ．1,3 C ．1,3 D ．3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点43P ，，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为A ．35 B ．45 C ．34D ．433．方程230x x 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A B C ，当B ，C ，A 在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)yx x的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在ABC △中，DEBC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ， 若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于 A ．2:3B ．4:9C ．4:5D7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼B'A'C B A ED CBA边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为图1 图2 A．cmB．cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点24A ，，40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B .若B '的坐标为20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y 上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：0cos452sin302．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ，4AO ，2CO ，3CD ，求AB 的长．19．已知x n 是关于x 的一元二次方程2450mx x 的一个根，若246mn n m ，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A ．1100yxB ．100yxC．13+2002y xD ．21319400008008x yxODCBA（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P .求作：过点P 的⊙O 的切线． 作法：如图，① 作射线OP ；②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ； ④作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长． 参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x 与双曲线ky x的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线kyx上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m ，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．x y–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OEAB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =3tan 4P =，求FB 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844yx ax a ，(1,0),(,0)A N n -．（1）当1a 时，①求抛物线G 与x轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；BA（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC 的值．图1 图2 图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a ，3b 时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．BB图1 图2（1）图1中点C 的坐标为； （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；（3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a ，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.备用图初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共16分，每小题2分）第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．10x =，23x =10．π 11． 212．0k > 13．()12，14．答案不唯一，如：1y x -=15．M N ， 16第16题：OQ 2=OP 2-1,OP 最小时，OQ 最小，OP min =2，∴OQ min 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）解：原式=12122-⨯+ ………………………………………………………………3分=2．…………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）证明：∵A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠， ∴AOB COD △∽△． …………………………………………………………3分∴AO ABCO CD=．∵423AO CO CD ===，，，∴6AB =．……………………………………………………………………… 5分 19．（本小题满分5分）解：依题意，得2450mn n --=．…………………………………………………… 3分 ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=，∴56m +=．∴1m =．……………………………………… 5分 20．（本小题满分5分）解：（1）B ．……………………………………………………………………………… 3分 （2）0.50．………………………………………………………………………… 5分21．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：………………………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分22．（本小题满分5分） 解：在Rt DPA △中， ∵tan ADDPA PD∠=， ∴tan AD PD DPA =⋅∠．…………………………………………………………2分在Rt DPB △中，∵tan BDDPB PD∠=， ∴tan BD PD DPB =⋅∠．……………………………………………………….. 4分∴()tan tan AB BD AD PD DPB DPA =-=⋅∠-∠． ∵ 5.6AB =，53DPB ∠=°，18DPA ∠=°，∴ 5.6PD =．………………………………………………………………………5分答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米．23．（本小题满分6分） 解：（1）∵直线12y x =经过点()2A a ，，∴1a =．……………………………………………………………………… 1分∴()21A ，又∵双曲线ky x=经过点A ，∴2k =．……………………………………………………………………… 2分（2）①当1m =时，点P 的坐标为()12，． ∴直线PA 的解析式为3y x =-+．………………..………………………. 3分∵直线PA 与x 轴交于点()0B b ，，∴3b =．……………………………………………………...4分②1b =或3．………………………………………………………………… 6分24．（本小题满分6分）解：本题答案不唯一，如：（1）…………………………………………………………………………………………… 1分（2）…………………………………………………………………………………………… 4分（3）1.38或4.62．……………………………………………………………... 6分说明：允许（1）的数值误差范围0.05±；（3）的数值误差范围0.2± 25．（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OC ．∵OE AB ⊥，∴90EGF ∠=°． ∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴=90OCP ∠°．……………… 1分∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=°． ∵OE OC =，∴E OCF ∠=∠．………………………………………………………… 2分 ∴EFG PCF ∠=∠． 又∵EFG PFC ∠=∠， ∴PCF PFC ∠=∠．∴PC PF =．………………………………………………………………3分 （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒， ∴90BOC ∠=︒．∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． ∴45BCH OBC ∠=∠=°． 在Rt BHC △中，BC =，可得sin45BH BC =⋅°3=，cos45CH BC =⋅°3=．…………...… 4分 在Rt BHP △中，3tan 4P =， 可得4tan BHPH P==．…………………………………………………….. 5分∴5BP =．∴7PC PH CH =+=． ∴PF PC =．∴2FB PF PB PC PB =-=-=．…………………………………………6分 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=°． ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． 在Rt OBC △中，BC =，可得sin45OB BC =⋅°3=．……………………………………………… 4分 ∴3OE OB ==． ∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =， ∴3tan 4GBO ∠=． 在Rt GBO △中，tan OGGBO GB∠=，3OB =．∴95OG =，125GB =．…………………………………………………… 5分∴65EG OE OG =-=．在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=．设3CH x =，则4PH x =，5PC x =．∵PC PF =，∴FH PF PH x =-=．∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=，∴EGF △∽CHF △∴13FG FH EG CH ==． ∴1235FG EG ==．∴2FB GB FG =-=．…………………………………………………… 6分方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒． ∴1452A BOC ∠=∠=°．…………………………… 4分 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH ==，设3CH x =，则4PH x =，5PC x =． 在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x =， ∴3AH CH x ==，32AC x =．∴7PA AH PH x =+=．………………………………………………… 5分 ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒， ∴PCB PAC △∽△． ∴PB PC BCPC PA AC==． ∵32BC =，∴75x =，7PC =，5PB =． ∵PF PC =，∴7PF =．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．在Rt OBC △中，32BC =，OB OC =，可得3OB =．…………………………4分∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =，∴3tan 4MBO ∠=．在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==， G H F A PCB EO可得94OM =，154BM =． ………………………………………..5分 ∴214CM =． 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==， 可得7PC =，354PM =． ∴5PB PM BM =-=，7PF PC ==．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分26．（本小题满分6分） 解：（1）①当1a =时，248y x x =-．…………………… 1分 当0y =时，2480x x -=， 解得10x =，22x =．∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00，，()20，． …………………………………………………………………2分 ②当0n =时，抛物线G 与线段AN 有一个交点． 当2n =时，抛物线G 与线段AN 有两个交点．结合图象可得02n ≤<．……………………… 4分（2）3n ≤-或1n ≥．……………………………………………………………… 6分（2）解析：y=4x 2-8ax+4a 2-4，y=2(x-a)2-4, ∴顶点(a,-4)，x 1=a+1，x 2=a-1若抛物线与x 轴交于E 、F 两点，则EF= ∣x 1- x 2∣=2 AN=∣x A - x N ∣=∣n+1∣AN ≥EF 时，线段AN 与抛物线G 有两个交点，即n ≤-3或 n ≥1。