第三章电路的暂态分析一、内容提要本章首先阐述了电路瞬变过程的概念及其产生的原因，指出了研究电路瞬变过程的目的和意义。
其次介绍换路定律及电路中电压和电流初始值的计算方法。
第三着重推荐用“三要素法”分析一阶RC、RL电路瞬变过程的方法。
二、基本要求1、了解性电路的瞬变过程的概念及其产生的原因；2、掌握换路定律，学会确定电压和电流的初始值；3、掌握影响瞬变过程快慢的时间常数的物理意义；4、掌握影响巡边过程快慢的时间常数的物理意义；5、学会对RC和RL电路的瞬变过程进行分析。
三、学习指导电路的暂态分析，实际上就是对电路的换路进行分析。
所谓换路是电路由一个稳态变化到另一个稳态，分析的重点是对含有储能元件的电路而言，若换路引起了储能元件储存的能量所谓变化，则由于能量不能突变，这一点非常重要，次之电路的两个稳态间需要暂态过程进行过渡。
在直流激励下，换路前，如果储能元件储能有能量，并设电路已处于稳态，则在-=0t 的电路中，电容C 元件可视为开路，电感L 元如果储能元件没有储能（00L C ==W W 或）只能00L C ==i u 或，因此，在-=0t 和+=0t 的电路中，可将电容元件短路，电感元件开路。
特别注意：“直流激励”，“换路前电路已处于稳态”及储能元件有无可能储能。
对一阶线性电路，求解暂态过程的方法及步骤１、经典法 其步骤为：（１）按换路后的电路列出微分方程； （２）求微分方程式的特解，即稳态分量； （３）求微分方程式的补函数，即暂态分量（４）按照换路定律确定暂态过程的初始值，定出积分常数。
对于比较复杂的电路，有时还需要应用戴维南定律或诺顿定理将换路后的电路简化为一个简单的电路，而后再利用上述经典法得出的式子求解，其步骤如下：（１）将储能元件（Ｃ或Ｌ）划出，而将其余部分看做一个等效电源，组成一个简单电路；（２）求等效电源的电动势（或短路电流）和内阻；（3）计算电路的时间常数；C 电路,eq C R =τL 电路eqR L=τ。
（4）将所得数据代入由经典法得出的式子。
①ＲＣ电路的零状态响应：;,,0R 00C τττtt t e U u e RU i e U u ----=-==②ＲＣ电路的零状态响应：;,),1(R C τττtttUe u e RU i e U u ----==-=③ＲＣ电路的全响应等于零输入响应与零状态响应二者的叠加：.,),1(R C0C iR u dtdu ci e U eU u tt==-+=--ττ２、三要素法所谓三要素法是：只要求出一阶线性电路中的τ和)(),0(∞+f f 这三个要素后，就可以方便地得出全解)t (f ，其表达式)t (f ＝这种利用“三要素”来得出一阶线性微积分方程全解 的方法，称为“三要素法”。
优点：它在分析ＲＣ和ＲＬ一阶电路的暂态响应时，可避免求解微分方程，而使分析简便，并且物理意义清楚。
其步骤如下：（１）求初始值)0(+f 。
根据题意可求出换路前的终了时刻的值)0(-f ，再根据换路定理确定)0(+f ＝)0(-f ，即Ｒ－Ｃ电路)0()0(C C -+=u u ；Ｒ－Ｌ电路)0()0(L L -+=i i 。
（２）求稳态)(∞f 。
换路后，电路达到最稳定状态时的电压和电流值。
在稳态为直流量的电路中，电路的处理方法是：电容开路，电感短路；用求稳态电路的方法求出电容的开路电压即为)(L ∞u ，电感中的短路电流即为)(L ∞i 。
（３）求时间常数τ。
对于电路中的任一变量（如电流、电压），它们的时间常数是相同的，并与外加信号源无关。
为求得一阶电路的时间常数，可将电压短路，将电流源开路，经过简后必然能得到一个等值的RC 或ＲＬ闭合电路，回路中ＲＣ或RL即为原电路的时间常数。
时间常数是电路瞬变过程中一个重要的物理参数。
因为它的大小可以反映出ＲＣ（或ＲＬ）电路瞬变过程的快慢。
3、列方程时应注意的问题（1）在所求解的电路中有多个待求量时，不必列出全部待求量的微分方程，而是选出一个适当的待求量，其它变量则利用与该变量的关系来求解。
例如，在R 、L 、C 串联电路中，可选电路i 作为变量（i 为公共量，然后由⎰===idt Cu dt di Lu iR U 1,,C L R 来求C L R u u u 和、等。
（2）一般情况下微分比积分计算方便，因此，含有电容的电路，选C u 作为变量；在电感电路中，选L i 作为变量较好。
若L 、C 同时存在，选L i 或C u 均可。
（3）也可把支路电流，网孔电压，节点电位等作为变量，而后由KCL 或KVL 列出微分方程。
P45 练习与思考3.1.1. 电路中产生暂态过程的实质是储能源元件的能量不能跃变。
3.1.2. 因为换路时，电感储存的磁场能与电容储存的电场能均不能发生跃变为先决条件，由2CC 2L L 21,21u C W Li W ⋅==可知，换路时，电感的电流与电容两端的电压降不发生跃变。
而其它物理量只能具体问题具体分析。
3.1.3. 由于换路前电路已稳定，所以0,,0)0(2)0(C )0(C )0(1====----i U u i i闭合后，+=0t 时，由于换路定律有：)0(c )0(c +-=U U 可知U U =+)0(c 所以：0,02)0(c )0(21)0(c )0(1≠==-=++++R u i R U U i练习与思考3.1.3图P50 练习与思考3.2.1 由于物理学中，从量能分析可知：S F 111=⋅Ω,所以RC 电路中，RC 为该电路的充放电的时间常数，则它的大小直接影响C 的放电快与慢。
3.2.2 相等，同为放电时间与初始电压的大小无关。
3.2.3 解：tt t e dt du C i e u e U u 21C C 21C 210C )210(C ,10,----⋅=⋅=⋅=⋅=即由题意可知：S RC 02.01.051=⨯==τ30C 101101-=⨯-=⨯-=C i t τΩ=⨯=-k R 1010202.06，F C 6310250010--⨯==所以：t t e i 503)(C 10---=3.2.4 解：V 6)0(C )0(C ==+-u u ，t tt t eeeu u 610102)21(121)0(C )(C 6666-⋅⨯⨯+--+⋅=⋅=⋅=-t t t ee i ⋅--⋅-=⋅-⋅=61066106)(C 6610)610(6，s RC 6106-⨯==τ练习与思考3．2．4图 P533.3.1 RC 电路中，电容充电过程的自由分量，由于端电压C U 由0逐渐上升到S U ,而电流C i 由RU S逐渐变小到0，在+=0t 时刻电流发生跃变引起的。
由于变化规律与外施激励无关i u 与总是按指数规律变化逐渐稳态值。
充电结束后，电容相当开路0=i ，端电压达到最大值，因此反映了电路本身的固有性质。
3.3.2 只有表针偏转后，慢慢返回到原刻度处，说明电容正常。
3.3.3 解：零状态响应：)1(21)(C )(C t t eU u -∞-=，V 20s )(C ==∞U Us RC 3631029.31047.0107--⨯=⨯⨯⨯==τ所以：)1(2029.310)(C 3t t eu --=，当64.12)(1=t u C 。
即64.12)1(201329.310=--t e，36.7201331029.310=⨯-t e368.01331029.310=⨯-t e，0368.0ln 29.31013=-t解得：ms t 3.300335.01≈=t t t t ee u c i 29.310329.31036')(C )(C 3329.3104.9)29.310(201047.0----⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⨯-⨯=⋅=t tR e i R u ττ112029.38.65--⋅≈=⋅=。
（ms 29.3=τ）练习与思考3．3．3图P56 练习与思考3.4.1 只有线性的一阶电路，才具有叠加性。
3.4.2 teU U U u τ1S 0S C )(--+=得t t e e u 2.02.0C 812)124(12---=-+= 由dtdu Ci CC =得 t t e e i 2.02.0C 8)2.0()8(5--=-⨯-⨯=练习与思考3.4.2图P59 练习与思考3.5.1 三要素法只适用于直流电源作用的RC 或RL 阶段性电路，当以0t t =时刻计时，只需将公式中的0t t t -用代替即可。
3.5.2 解：-∞+=-=-=0,V 15,V 5)(c ))0(c t u u 计时， 当V 32.11,3)(C 1-==t u s t 时则有313110151551532.11⨯-⨯-+-=+-+-=-ττee ）（3,1068.331=⋅=⨯-ττe则：t t e u 31)(C 1015-+-=练习与思考3．5．2图习题三3-1 如图所示电路换路前已处于稳态，试求换路后电路中所标出的电流、电压初始值和稳态值。
习题3-1图解：a ）图中V150)0()0(C C ==-+u u ；A 5)0(=-i ，A 1510150)0()0(1C ===++R u iA 5)(V ,50)(C =∞=∞i ub ）图中A 1196466//426)0()0(L L =+⨯+==-+i i ，A 1115)0(=-iV 0)0(L =-u ，V 1112119)42(6)0(A,119)0()0(L L =⨯+-===+++u i iA 1)(i V ,0)(L L =∞=∞u3-2 如图所示的电路中，开关S 动作前，电路已达到稳态，t =0时打开开关，求)0(C +u 、)0(L +u 、)0(C +i 和)0(L +i 以及上述各量电路换路后的稳态值。
习题3-2图 解： V 818)0()0(A,18443)0()0(C C L L =⨯===+⨯==-+-+u u i i 4))0(3()0()0(2)0(L C L L ⨯-=+⨯+++++i u i u ，代入得： A 1)0()0(V ,28124)13()0(L C L ==-=-⨯-⨯-=+++i i uV 0)(V ,1243)(,0)()(L C C L =∞=⨯=∞=∞=∞u u i i3-3 如图所示的电路中，换路前已处于稳态。
求0≥t 时C C i u 和，并画出它们的波形。
习题3-3图解： V 601010106)0()0(33C C =⨯⨯⨯==--+u u ，闭合后，为零输入响应。
s 01.010*******)63633(636=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯+==--kk kk k RC τ V 60)0()(1001C C t te eu t u --+==τ，A 012.0)100(60102)()(1001006C C t t e e dtt du Ct i ----=-⨯⨯⨯== 3-4如图所示电路中，已知Ω=Ω====k R k R F C C U 6,12,10V ,202121S μ，电容元件换路前未充电，求0≥t 时的C u ，并画出随时间变化的曲线。