n (n 1)!
13
(4)
zk2
k 1
因为级数是缺项级数,
即Cn
0, 1,
n k2; n k2.
故
R
lnim lim
n
1
Cn 1
n n Cn
R1 1 R2
R R1 R2 1
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
27
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展 开式. 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算
37
2)将函数展为洛朗级数的方法
(1) 直接展开法
根据洛朗定理求出系数 cn
K2
.
因为
1
z
(
1 z0) (z
z0 )
1 z z0
1
1
z0
z
z0 z0
1
z z0
34
n1
( z0 )n1
(z z0 )n
n1 (
1 z0
)n1
(
z
z0
)n
,
于是 1 f ( )d
2πi K1 z
n1
1 2πi
K1 (
f
( )
z0 )n1
d
(
z
z0
)n
cn (z z0 )n ,
(n 0, 1, 2,)
[证毕]
36
说明:
1) f (z) cn(z z0 )n
n
f (z)在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 函数 f (z)在圆环域内的洛朗展开式
2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负 幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数 的一般方法.
i
K
f
( )d
z
,
其中 K 取正方向.
因为积分变量 取在圆周 K 上, 点 z 在 K 的内部,
所以 z z0 1.
z0
则 1
1
z ( z0 ) (z z0 )
1
1
z0 1 z z0
z0
.z
z0 . r K
D
.
23
1 z0
1
(z
z0 ) ( z
z0
n0 (
19
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
1
(1 z)2
( 1 ) 1 z
(z n )
n0
nz n1 ,
n0
收敛半径 z 1 收敛半径 z 1
1
(1 z)3
21
(
(1
1 z
)
2
)
21
n0
(nz
n
)
21
n0
n(n
1)z n2 ,
收敛半径
z
1
…
ln(1z) z
1
dz
z
z ndz
z n1
zn
, 收敛半径 z 1
0 1 z
0 n0
n0 n 1
n1 n
…
20
二、泰勒定理
定理 设 f (z) 在区域 D内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0到 D 的边界上各点的最短距离, 那么
当 z z0 d 时, f (z) cn(z z0 )n 成立,
2!
n!
n0 n!
(2)
1
1 z z2 zn zn , ( z 1)
1 z
n0
(3)
1
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ,
1 z
n0
( z 1)
(4) sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)! ( z )
30
(5) cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
( z )
(6) ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 ,
23
n1
(1)n zn1
n0
n1
( z 1)
(7)(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f (z) zn n0
收敛半径 z 1
zn 1 z z2 zn
n0
lim 1 z n1 1 , n 1 z 1 z
最常用的级数！
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
数学物理方法
1
复变函数的幂级数展开
主要知识点： 幂级数 泰勒级数 洛朗级数 奇点
2
1.复数列
设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
1) 定义 设{n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n
称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那么级数 n收敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那么级数 n发散.
n1
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
充要条件
收敛
n
an与
bn都收 敛
n 1
n 1
n 1Biblioteka 必要条件n收敛n1
28
例如，利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i
1 2i
n0
(iz)n n!
(iz)n n0 n!
(1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
29
2)常见函数的泰勒展开式
(1) ez 1 z z2 zn zn , ( z )
2!
3!
( 1)( n 1) zn , ( z 1)
n!
31
三 洛朗级数
1)定理 设 f (z) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解
析, 那么 f (z) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z) cn(z z0 )n,
n
其中
cn
1
2πi C (
f
(
z0
) )n1
1 z0
z z0
n
n0 z0
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
,
33
所以
1 2π
i
K
2
f
(
)d
z
n0
1 2πi
K2 (
f (
z0
) )n1
d
(
z
z0
)n
cn(z z0 )n
n0
对于第二个积分:
1 2πi
f ( )d K1 z
R2
K1
Rr
.
R1 z0
.z
lim
n
n
0
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 则称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
6
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
(1)
zn n2
n0
(2) zn n0 n!
(3) n!zn
n0
(4) zk2 .
k 1
解
(1) 由R lim cn c n
n1