鲁棒控制的发展与理论摘要：首先介绍了鲁棒控制的发展过程，之后主要介绍了H∞控制理论、μ理论的发展、研究内容和实际应用，和鲁棒控制尚待解决的问题及研究热点。

关键词：鲁棒控制理论、H∞控制理论、μ理论、分析、综合1 概述传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。

现代控制理论可以解决多输入、多输出( MIMO )控制系统地分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。

简单地说，鲁棒控制( Robust Control )就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。

鲁棒振定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。

根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

鲁棒控制自其产生便得到了广泛的注目和蓬勃发展。

其实人们在系统设计时，常常会考虑到鲁棒性的问题。

当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题，另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。

2 鲁棒控制理论的发展最早给出鲁棒控制问题解的是Black在1927年给出的关于真空关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理真空管特性的大范围波动。

之后，Nquist( 奈奎斯特)频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode( 伯德)的经典之著中关于鲁棒控制设计的基础。

20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期。

此间问题多集中于SISO(单变量)系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。

20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO 进行了初步的推广，人们普遍研究灵敏度设计问题，包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。

20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期。

此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。

在研究鲁棒多变量控制的过程中，先后出现了参数空间法、Kharitonov(卡里托诺夫)法、状态空间法、H ∞方法以及μ方法。

下面就H ∞方法以及μ方法分别加以介绍。

3 H ∞控制理论3.1 H ∞控制理论概念H ∞方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的H ∞范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定，并使相应的H ∞范数指标极小化的输出反馈控制问题。

H ∞控制理论就是在H ∞空间（Hardy 空间）通过某些性能指标的无穷范数优化而获得控制器的一种控制理论。

H ∞空间是开在右半边平面解析且有解的矩阵函数空间，其范数定义为：[]{}sup ()Re 0F F s s σ∞=><∞ (1)即矩阵函数()F s 在开右半平面的最大奇异值的上阶。

其物理意义是：系统的输入若是有限的能量谱信号，系统的输出则是最大能量谱信号（即代表系统获得最大能量增益）。

3.1 H ∞控制理论的发展H ∞控制理论的研究可分为两大阶段。

分别以Zames 和美国学者Doly 等人发表的两篇论文为标志。

Zames 在1981年发表的重要文章“Feedback and Optimal Sensitivity : Model Reference Transformations, Multiplicative Seminorms, and Approximate Inverse ” 标志了H ∞控制理论的起步。

针对LQG( 线性二次高斯控制linear-quadratic-Gaussian control )设计中将不确定干扰表示成白噪声模型的局限性，Zames 考虑了干扰信号属于某一能量有限的已知信号集的情况下，能使系统内稳定及系统对扰动输出达到最小的控制器设计。

他找到了鲁棒控制与最优控制的一个契合点，是在理论内部超越了LQG 理论的尝试。

此阶段的主要特征是采用纯频域方法，以p H 空间、H ∞范数等概念为基础，研究的方法是把H ∞标准转化为模型匹配问题，然后将模型匹配问题转化为广义距离问题。

主要工具是所有稳定化控制器的Youla-Jabr-Kucera 参数化，传递函数的内外分解，Nevanlina-Pick 插值理论，Nehari 的距离定理等。

这种频率域/算子理论的处理方法目前仍然是一个很活跃的研究领域。

在第二阶段时，H ∞设计转向状态空间分析方法，进一步简化了求解过程。

Doly 等人于1989年，发表论文“State-space Solution to Standard H ∞ and 2HControl Problem”。

不仅对状态反馈，而且对输出反馈的情形给出了H∞标准控制问题有解的充要条件以及次优控制器的参数形式，其证明了可以通过解两个Riccati方程得到H∞控制器，且其阶数与被控对象的阶数相等，从而倒出H∞控制理论标准问题的一个相当清晰的解。

H∞控制问题在概念上和算法上都被大大的简化。

此阶段的主要特征是状态空间方法的采用，它以Lyapunov稳定理论、能控能观等概念为基础，以状态空间实现为工具，不仅得到了所有H∞次优解的表达式而且所得控制器阶数不超过广义对象的阶数。

因而，既具有理论意义，又有实现应用价值。

3.2 H∞控制理论研究(1) 线性H∞控制研究。

从耗散性能理论和微分对策理论出发，利用L增益2分析，非线性H∞控制问题可解决的充分条件被转化为一组Hamilton-Jacobi等式或不等式的可解性问题，并可通过求解来获得鲁棒控制器的形式。

Takagi Sugeno提出了著名的T - S模糊系统模型，为非线性控制系统提供了新的思路。

吴忠强等人利用T - S模糊动态模型描述非线性系统，首先将全局模糊系统表示成不确定系统形式，采用H∞控制策略，设计出使全局模糊系统渐进稳定的控制器。

然后采用并行分配补偿法，设计出使模糊系统全局渐进稳定的H∞控制器。

将模糊控制与现代鲁棒控制相结合解决非线性问题，避免了偏微分方程的求解和一些假设条件。

(2) 时滞系统的H∞控制研究。

时滞现象普遍存在于实际的控制问题中。

时滞往往是使系统的性能变差甚至是造成系统不稳定的主要问题之一，一些学者将H∞控制理论应用到时滞系统的研究中，并且针对不确定性时滞系统的鲁棒H∞控制问题也有研究报道。

在这些研究的系统中，最常见的控制方法是利用系统状态构成线性无记忆反馈。

(3) 区间系统的H∞控制研究。

区间系统是含有参数不确定性的系统中最难研究的一种，这是因为对于一个n阶区间系统，在状态矩阵中就有2n个不确定参数。

尽管如此，近年来关于区间系统的研究还是取得了许多成果。

史忠科等先将区间系统转化为一类范数有界的结构不确定性系。

在此基础上，给出一系列定常区间系统鲁棒稳定性的判据，并利用H∞控制理论，来研究区间系统的鲁棒稳定和干扰抑制问题。

3.3 H∞控制理论应用H∞控制器用于泵控马达伺服系统，把经内环整定后的伺服电机扩展为增广对象()P s，对其求解标准H∞设计问题，得到具有很强鲁棒性的速度控制器。

将H ∞控制器用于船舶自动舵控制。

应用H ∞控制研究了具有冲击影响的宏观经济系统控制问题，给出政府政策和公众预期宏观经济H ∞控制的状态反馈解。

H ∞控制指标在时域的本质是“最大最小”问题，其系统意义是选择控制策略，是观测输出最大扰动最小。

相应于证券组合投资问题，使收益最大风险最小，运用H ∞对证券投资中的不确定性和风险问题的连续时间系统进行了研究。

离散时间系统状态空间模型的提出，推导了奇异H ∞控制策略，为证券组合投资的分析和实际应用提供了新的理论方法。

4 μ理论虽然H ∞控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系，然而从实际中可知，H ∞设计方法虽然将鲁棒性直接反应在系统的设计指标中，不确定性反映在相应的加权函数上，但它“最坏情况”下的控制却导致了不必要的保守性；另外H ∞优化控制方法仅仅针对鲁棒稳定性而言，忽略了对鲁棒性能的要求。

因此，鲁棒多变量反馈系统设计方法一直存在的困难，是不能够在统一框架下同时处理性能指标与鲁棒稳定的折中问题。

与H ∞同时期发展的μ理论则考虑到了结构的不确定性问题，它不但能够有效的、无保守性的判断“最坏情况”下摄动的影响，而且当存在不同表达形式的结构化不确定性情况下，能分析控制系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能问题。

4.1 μ理论的基本概念对于存在各类结构化不确定性的系统，用结构奇异值方法进行受控系统稳定性和性能分析的过程叫做μ分析。

而设计控制器的过程（即求一稳定控制器K ，使闭环系统在有结构化不确定性的情况下也能保持稳定性和性能），称为μ综合。

对于摄动比较集中的系统，不确定性可以通过估计其上确界，用H ∞范数条件约束来实现鲁棒性能的满足。

当摄动比较分散时，实际系统中的结构不确定性用块对角矩阵∆表示，如式(2)。

{}{}111=,,,,,r s rs F diag I I δδ∆∆∆ (2) 式中，i C δ∈，j j m n j C ⨯∆∈，11s F i j i j r m n ==+=∑∑μ理论通过输入、输出、传递函数、参数变化、摄动等所有线性关联重构，以隔离所有摄动得到如图1所示的块对角有界摄动问题(BDBP 系统)。

zw 图1 块对角有界摄动问题图1中，w 为评价控制性能与模型摄动的外部输入向量，z 为评价控制性能与模型摄动的输出向量，不确定性用式(2)定义的∆表示，系统传递函数矩阵m n M C ⨯∈的结构奇异值μ的定义如式(3)所示。

{}()1max ()min (det()0)M I M μσ-∆=∆-∆= (3)式中，m n C ⨯表示复数域，max ()σ∆表示∆的最大奇异值。

4.2 μ理论的发展对μ理论的发展产生重要影响的是20世纪70年代末鲁棒多变量控制系统的研究，他们对稳定性分析的早期工作，特别是小增益理论和圆盘理论产生了不可估量的影响。

这些理论给出了反馈中非线性环节稳定性的充要条件。

20世纪80年代初，Doly 和Stein 以奇异值为鲁棒性度量工具推广了多变量系统的Bode 幅值设计方法，他们指出影响系统鲁棒性的是系统回差矩阵或逆回差矩阵的奇异值。

然而在越来越多的实践中表明，基于奇异值的方法使非结构化不确定性的假设太粗略，对鲁棒性能的问题不能得到充分解决；对于结构化的对象扰动，基于奇异值的稳定性和品质测度通常是很保守的。