1. 如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数H(ω)，输入一个零均值、方差为
2
σ的白噪声（不相关随机变量）序列w(n)。

1) 求解输出序列X (n)的功率谱密度()
xx
Pω并画出其图形；
2) 证明X (n)的自相关()
xx
R m可以表达为：
2
sin()2
()2
2
xx
m
R m
m
π
σ
π
=
并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用；
3) 用两种方式说明22
(X)2
Eσ
=：
A.2
(X)(0)
xx
E r
=
B.2
1
(X)()
2xx
E P d
π
π
ωω
π
-
=⎰
解：
1）由题意可知，零均值白噪声的功率谱为2
()
ww w
Pωσ
=，传递函数为()
Hω，则，输出序列()
X n的功率谱密度()
xx
Pω为：
2
22
4,
()|()|22
0,
w
j
xx w
P H eω
ππ
σω
ωσ
⎧
-≤≤
⎪
==⎨
⎪⎩其它
其功率谱密度图形如下图所示：
2）因为自相关和功率谱密度互为傅里叶逆变换，
则：
/2
2/2
2
2
2
2
/2/
2
2
2
2
2
111
()()| 222
11
()2sin2
22
sin2
4
4
44
2
2
j m j m j m xx xx
j m j m
w
w
w w
w
R m P e d e d e
jm
m
e e j
jm jm
m
m
πππ
ωωω
π
ππ
ππ
ωωω
πππ
π
ππ
σ
σ
π
σ
σσ
π
-
--
-
===
=-=
=
⎰⎰
()
xx
R m图为：
由图形可知,该滤波器的波形为：
3）根据题意可得：
A. 222
2
sin sin
22
()(0)222
|lim
22
w m
x w
x w
m
m
X
m
m m
E rσσ
π
ππ
σ
π
=
→
====
B. 22
2
2
2
41
1
()()222x w
x w E X P d d π
π
π
πωσπσωωπ
--=
==⎰⎰
2.如图所示，滤波器由下式所述1n n n y x x -=-，其中输入是一个确定性信号
n s b n =•(b 是个已知常量)和零均值随机白噪声序列n d 组成，其中噪声方差为
2σ，使用叠加原理计算：
1）计算输出中信号的成分并绘图；
2） 计算噪声功率（即输出中噪声成分的方差）； 3）计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图； 4）描述该滤波器的作用并评价其效果。

解：
1）当输入信号n S b n
=时，由题可知
1
n n n y x x -=-，
则
(1)n y bn b n b =--=
输出信号图为：
2）对于均值为零的白噪声
n
d ，其功率谱为
2
()dd P ωσ=，
输入白噪声后，输出功率谱为22()|()|j yy P H e ωωσ=
对于给滤波器而言1n n n y x x -=-，对其做Z 变换，可得1()1H z Z -=-
则
22()1|()|()()(1)(1)222cos |()|()()(1)(1)222cos j j j j j j j j j j j j j j j j H e e H e H e H e e e e e H e H e H e e e e e ωω
ωωωωωωωωωωωωωωωω
-------=-==--=--=-==--=--=- 则输出中噪声成分的功率谱密度函数为：
222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-
输出中噪声成分的方差为:
2
21
1
(0)()(22cos )222xx yy r P d d π
π
π
πωωωσ
ωσπ
π--
=
=-=⎰⎰
3） 由2）可得，输出函数的功率谱密度函数为：
222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-
功率谱密度函数的图形为：
4）由上式可知，系统的频率响应为()1j j H e e ωω-=-，则是一个高通滤波器。

3. 一个AR 模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下
2222
25
()|A()||1e 0.5e |xx j j P ωωωσωω--==-+
其中2
ωσ表示输入序列的方差。

1）当用白噪声激励该AR 系统时，计算该系统的差分方程；。