( A3 + A4 ) − 2 A0 = 0
r (J1 = 0)
边界条件的处理(续)
• 4、网格成对角线边界时的角形区域边界
– 可以用边界平行于网格，但有拐点的情形的处理方 法同样处理
2
3
0
1
A区
B区
4
Ab1
+
1 2
(1 +
R) A3
+
1 4
(3 +
R)( Ab2
+
Ab4 )
− (3 +
R) A0
β (φ3 β h32
−φ0 )
=
2
h3 (φ1
−φ0 ) +
h1h3 (h1
h1 (φ3
+ h3 )
−φ0 )
+ O(h3)
∂ 2φ
( ∂x2 )0
=
φ1
−
2φ0
hx2
+ φ3
+ O(h3)
h1 = h3 = hx
∂2φ
( ∂x2
)0
=
2
h3 (φ1
−φ0 ) +
h1h3 (h1
h1 (φ3
+ h3 )
(1-7)
对偏导数，可仿照上述方法，将 ∂u 表示为： ∂x
∂u ≈ u(x + h, y, z) − u(x, y, z) （1-8）
∂x
h
同样，二阶偏导数可表示为：
∂ 2u ≈ u(x + h, y, z) − 2u(x, y, z) + u(x − h, y, z)
∂x 2
h2
（1-9）
§2 差分方法的求解步骤
，第三类边界条件。
介质不连续处还要增加连接条件
⎧⎪φ1 |G = φ2 |G
⎨⎩⎪ε1
∂φ
∂n
|G
−ε 2
∂φ
∂n
|G
=
σ
j增 加 的 方 向
(i −1, j +1)
3
h3
φ3 (i −1, j)
(i −1, j −1)
φ2 (i, j +1) (i +1, j +1)
2
φ0
0 (i, j)
1(φi1+1, j) h2
有限小差分 Δx 的商，称为差商。
一阶导数 f ' (x) 还可表示为：
向后差商
df ≈ Δf (x) = f ( x) − f (x − h)
dx Δx
h
向前差商
（1-4）
df ≈ Δf (x) = f (x + h) − f (x)
dx Δx
h
中心差商
（1-5）
df ≈ Δf ( x) = f ( x + h) − f ( x − h) （1-6）
(i−1, j+1) φ2 (i, j+1) (i+1, j+1)
3
h3
φ3 (i−1, j)
2
φ0 0 (i, j)
1(φi1+1, j) h2
h4
h1
4
(i−1, j−1) φ4 (i, j−1) (i+1, j−1)
j增 加 的 方 向
φ1 − 2φ0
hx2
+ φ3
+ φ2
− 2φ0
hy2
+ φ4
网格划分方式离散化场域
给出相应的差分计算格式
求解
§3 二维泊松方程和拉普拉斯方程的 有限差分法
• 差分格式的建立
∇2φ
=
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y 2
=
f
(x,
y)
φ |G = g( p)
，第一类边界条件；
∂φ ∂n
|G
=
g(
p)
，第二类边界条件；
φ
|G
+ g1( p)
∂φ ∂n
|G =
g2( p)
边界条件的处理(续)
• 2、边界不平行于网格，但是边界无拐点
– 边界旋转
q
2
p
3
1
0
B区
r
4
s
A区
φbp
2 1+ R
+φq
+φar
2R 1+ R
+φs
−4φ0
+R 1+ R
h'2 Wa
=
0
φbp
2 1+ R
+ φq
+ φar
2R 1+ R
+ φs
− 4φ0
+ 2R 1+ R
h2Wa
=
0
– 采用边界条件重新推导
+ h3 )
− φ0 )
3 h3 h2 h1 1
r0
h4
∂2φ
( ∂y2
)0
=
2
h4 (φ2
−φ0 ) +
h2h4 (h2
h2 (φ4
+ h4 )
− φ0 )
4
r
φ0
(
2 h2h4
+
2r0 + h3 − h1 ) h1h3r0
=
2 h2 (h2 +
h4 ) φ2
+
2 h4 (h2 +
h4 ) φ4
1)
]φ3
？r0 = 0
1 lim( r r −>0
∂φ )
∂r
=
(∂φ )'
lim
r −>0
∂r r'
=
∂2φ
( ∂r 2 )r=0
4
r
∂ 2φ
2 ∂r2
+
∂2φ
∂z 2
=
0
★★
整个场域内点的差分格式共有两种!
φ1 = φ3
6φ0 = φ2 + φ4 + 4φ1
边界条件的处理
• 1、不同介质平面分界面的情形
+
1 4
Rh2Wa
=
0
边界条件的处理(续)
• 5、与节点不重合的边界
– 应用不等间距差分格式
∇2φ
= 2[ h3 (φ1 − φ0 ) + h1(φ3 − φ0 ) +
h1h3 (h1 + h3 )
h4 (φ2 − φ0 ) + h2 (φ4 − φ0 ) ] =
h2h4 (h2 + h4 )
f0
函数 f (x) 的一阶导数 f ' (x) 为：
lim f ' (x) = df =
Δf (x)
dx Δx ⎯⎯→ 0 Δx
应用差分， f ' (x) 可表示为
f ' (x) ≈ Δf (x) = f (x + h) − f (x) (1-3)
Δx
h
故 f ' (x) 可表示为差分 Δf (x) 除以
+ φa4 )
φbx
=
1 2
(φ b1
+ φb2 )
φby
=
1 2
(φ b 3
+ φb4 )
y
B区
4 A区
2(φb1 +φb2)+2R(φa3 +φa4)−4(1+R)φ0 +Rh2Wa =0
边界条件的处理(续)
• 3、边界平行于网格，但有拐点
– 无法引入虚构点
L
N2
– 引入辅助线
α
– 0.5π < α < 1.5π ,0 < β < 0.5π
+φ4
−2φ0(1+
1 )− pq
Rh2 q+
f0 p pR
=
0
边界条件的处理(续)
• 6、曲线边界的情形
– 第一类边界条件的处理
9 直接转移法 φ0 ≈ φ1
h2
9 线性插值法
3
h4
若x方向最靠近0点
φ0
=
h3φ1
h3
+ h1φ3
+ h1
A区
2
0
1
B区
若y方向最靠近0点
φ0
=
h4φ2
h4
+ +
h2φ4
=
f0
1 hx2
(φi+1, j
− 2φi, j
+ φi−1, j ) +
1 hy2
(φi, j+1 − 2φi, j
+ φi, j−1) =
fi, j
i增 加 的 方 向
hx = hy = h
五点格式
φi+1, j + φi−1, j + φi, j+1 + φi, j−1 − 4φi, j = h2 fi, j
§1 差分与差商
设函数 f (x) 的自变量 x 有一小增量 Δx = h ，则 f (x) 的增量为 Δf (x) = f (x + h) − f (x) （1-1）
Δf (x) 为函数 f (x) 的一阶差分。当增量 h 足够小，差分 Δf 与微分 df 之间的差才足够小。 一阶差分 Δf 是自变量 x 的函数。按式（1-1）计算 Δf (x) 的差分 Δ2 f (x) 称二阶差分，且 Δ2 f (x) = Δf (x + h) − Δf (x) （1-2）