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时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研 究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。 6/87
5.1 数值算法中的基本问题 采用叠加原理的时域和频域分析方法（ Duhamel 积分， Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。 时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移 和速度为：
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△ti
ti
ti+1
t
τ
分段解析法对外荷载的离散
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5.2 分段解析法
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法 将全解
△ ti
u( ) u p ( ) uc ( )
ti+1
在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件：
ti
t
τ
代入边界(初始)条件确定系数A、B，最后得：
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5.1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－ 法； （6）Wilson－ 法； （7）Houbolt 法； （8）广义 法；
分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在 连续时间轴上严格满足运动微分方程。 一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要 求在离散的时间点上满足运动方程，即放松了 对运动的约束。
5.3 中心差分法
(Central Difference Method)
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5.3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导(即速度 和加速度)。如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和 加速度的中心差分近似为：
1 ui 1 ui 1 2 t 1 i 2 ui 1 2 ui ui 1 u t i u
ui 1 ui 1 2t
i u
u i 1 2ui ui 1 t 2
(t i ) cu (ti ) ku (t i ) p (ti ) mu
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5.2 分段解析法 当=ti时，得到
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法
A e n t sin D t cos D t 2 1
1 B e nt sin D t D
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t t 2t t 2t
5.3 中心差分法 时域逐步积分法计算中起步的概念
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t t 2t t 2t
5.2 分段解析法
(Piecewise Exact Method)
5.2 分段解析法 分段解析算法假设 在ti≤t≤ti+1时段内
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
p( ) pi i
i ( pi 1 pi ) / ti
如果荷载 p(t) 采用 计算机采样，即 离散数值采样， 则以上定义可认 为是“精确”的。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：宝鑫
结构动力学
第5章 动力反应数值分析方法
清华大学土木工程系 2016年秋
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主要内容：
数值算法中的基本问题 分段解析法 中心差分法 一般时域逐步积分法的构造 Newmark — 法 Wilson — 法 时域逐步积分算法的新发展 结构非线性反应分析
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5.1 数值算法中的基本问题 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：
5.1 数值算法中的基本问题 根据是否需要联立求解 耦联 方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法 ：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。 显式方法 ：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法(无阻尼时)。 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时 域逐步积分法—中心差分法和Newmark-β法，同时也 介绍Wilson-θ法，最后介绍非线性问题分析方法。
分段解析法 计算公式中 的系数
i ui 1 Aui Bu Cpi Dpi 1 i 1 Aui B u i u C pi D pi 1
D
2 2 1 1 2 2 e n t 1 t sin D t t cos D t k n n t D
其中，
A0
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( ) ui , u
0
i u
运动方程的特解:
u p ( )
运动方程的通解:
i 1 ( pi i ) 2 c k k
n
uc ( ) e
( A cos D B sin D )
pi 2i 1 n A2 A1 ] , A1 i , A2 ui A0 , A3 [u D i k kn k
i Cp i Dpi 1 u i 1 Au i Bu i 1 Au i B u i C pi D pi 1 u
△t i
ti
ti+1
t
τ
其中系数 A—D 是结构刚度 k，自振频率 n ，阻尼比 和 时间步长t的函数。 上式给出了分段解析法根据i时刻运动及外力计算i+1时刻 运动的递推计算公式。 如果结构是线性的，并采用等时间步长，则 A—D 均 为常数，其计算效率非常高，在p(t)为离散采样的定义 下是精确解。 如果是非线性问题，则 A—D 均为变量，计算效率会 大为降低。 15/87
( ) cu ( ) ku ( ) p ( ) pi i mu
u ( )
0
u ( ) A0 A1 A2 e n cos D A3e n sin D ( ) A1 ( D A3 n A2 )e n cos D u ( D A2 n A3 )e n sin D
用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的 初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出 两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。 在初始时刻需要建立两个起步时刻 ( 即 i＝0, -1) 的位移 值，这即是逐步积分的起步问题。
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中心差分法在计算ti+1时刻的运动ui+1时，需要已知ti和ti-1 两个时刻的运动 ui 和 ui-1，因此，中心差分法属于两步 法；
5.1 数值算法中的基本问题
离散的定义？
采用等时间步长离散时，ti=it，i=1, 2, 3,…。
ui u(ti ) ,
i u (ti ) , i 1, 2, u
体系的运动微分方程仅要求 在离散时间点 上满 足。 t——离散时间步长
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而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不 一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间 点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。
sin t 1 cos t D D t
D
1 1 e nt sin D t cos D t 2 kt 1
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5.2 分段解析法
i u
5.3 中心差分法
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 t 2 t 2 t t t 多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：
1 1 C 2 M ui 1 2t t 2 1 1 pi K 2 M ui 2 M C ui 1 t 2t t
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ui i u i u pi
u ( ti ) ( ti ) u ( ti ) u p ( ti )
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5.3 中心差分法 单步法和多步法的概念 单步法： 采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时， 仅需已知前一时刻的运动。 多步法：需要前两个或两个以上时刻的运动。
m u i 1 2u i u i 1 t
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ui u (t i ) i u (t i ) u i u (t i ) u pi p (t i )
c
u i 1 u i 1 ku i pi 2t
c 2m c m m 2 ui 1 pi k 2 ui 2 ui 1 2 t 2 t t t t
C 1 2 1 2 2 e nt D t k n t 1 2 2 sin t 1 cos D t D n t
n A e nt sin D t 2 1 B e n t cos D t sin D t 1 2
C
n 1 1 e n t 1 2 t 1 2 k t
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5.1 数值算法中的基本问题
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5.1 数值算法中的基本问题 前面介绍了二种结构动力反应分析方法： 时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法。 这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。 当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得 到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得 到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。 这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构 体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进 入 物理非线性 ( 弹塑性 ) ，或结构位移较大时，结构可 能进入 几何非线性 ，这时叠加原理将不再适用。此时 可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。