函数的奇偶性1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。

换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。

2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。

若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。

2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且12D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

6、多项整式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零。

类型一 函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f (x )＝2x 4＋3x 2； (2)f (x )＝1x＋x ；解析：(1)函数f (x )的定义域为R ，又∵f (－x )＝2(－x )4＋3(－x )2＝2x 4＋3x 2＝f (x )，∴函数f (x )＝2x 4＋3x 2是偶函数．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f (－x )＝1－x －x ＝－(1x ＋x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝1x＋x 是奇函数．答案：（1）偶函数 （2）奇函数 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2＋1；(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；答案：（1）偶函数 （2）奇函数练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |答案：D类型二 分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x x 2－x的奇偶性．解析：任取x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1 ＝－(－x 2＋1)＝－f (x )． 又任取x <0，则－x >0.∴f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1 ＝－(x 2－1)＝－f (x )．对x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )成立．∴函数f (x )为奇函数． 答案：奇函数练习1：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x 0x ＝－x 2－x的奇偶性．答案：奇函数.练习2：如果F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3x f x x是奇函数，则f (x )＝________.的单调性答案：2x ＋3类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．解析：当x >0时，－x <0， ∵当x <0时，f (x )＝x (1－x )， ∴f (－x )＝－x (1＋x )，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x (1＋x )，∴f (x )＝x (1＋x )， 又f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0， ∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x )练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________．答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1 x 0x ＝2x －1x练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝x －1C ．f (x )＝－x ＋1D ．f (x )＝－x －1答案：D类型四 抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．解析：令a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0，再令a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称，∴f (x )是奇函数． 答案：见解析练习1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．答案：令x 1＝0，x 2＝x ， 得f (x )＋f (－x )＝2f (0)·f (x )，① 令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (0)·f (x )，②由①②得， f (－x )＝f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称， ∴函数f (x )为偶函数．2：已知()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，则()G x 必定为（ ） A 、增函数且为奇函数 B 、增函数且为偶函数 C 、减函数且为奇函数 D 、减函数且为偶函数答案：A类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1的奇偶性．解析：当a ＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1， ∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1 ＝x2＋|x|＋1＝f(x)，∴当a ＝0时，函数f(x)为偶函数． 当a ≠0时，f(1)＝2＋|1－a|， f(－1)＝2＋|1＋a|， 假设f(1)＝f(－1)，则|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2， ∴a ＝0，这与a ≠0矛盾，假设f(－1)＝－f(1)，则2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)， ∴当a ≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数． 答案：非奇非偶.练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．答案：偶函数练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝ax ＋b x(其中a 、b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，52)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的奇偶性．答案：(1)f (x )＝x ＋1x.(2)f (x )为奇函数．类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.求实数a 、b 的值；解析：∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ， ∴－3x ＋b ＝－3x －b ，∴b ＝0. 又f(2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.答案：a ＝2.b ＝0.练习1: (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x2为奇函数.求b 的值；答案：b=0练习2: 若函数(0)y kx b k =+≠是奇函数，则b = ；若函数2(0)y ax bx c a =++≠为偶函数，则b = 。

答案: 0 ; 0类型七：利用奇偶性解不等式例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2，得－12<m <32.由函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数及f (m －1)＋f (1－2m )≥0，得f (m －1)≥f (2m －1)． ∵函数f (x )在(－2,2)上是减函数， ∴m －1≤2m －1，得m ≥0. ∴实数m 的取值范围是[0，32)．答案：[0，32)．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x ≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m 的取值 范围．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案：C类型八 利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求 f(1)．解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8， ∴g(－1)＝72.又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．∴g(1)＝－g(－1)＝－72.∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－72)＋1＝－6.答案：－6.练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( ) A ．－15 B ．－13 C ．－5 D ．5答案:A练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( ) A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 答案：C1、判断下列函数的奇偶性：（1）()11f x x x =+--； （2）()()1f x x =-； 答案：（1）奇函数 （2）既不是奇函数也不是偶函数。