专题：数列及其数列求和►重点、考点精读与点拨一、基本知识1．定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2． 通项公式与前n 项和公式}{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+=2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+= }{n b 为等比数列：)1(11≠=-q qb b n nqqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠3． 常用性质}{n a 为等差数列，则有（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，211-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(*N n m dm n a a m n ∈-+=（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=⇔为常数)⇔),(2R q p qnpn S n ∈+=（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ，1+n na a S S ＝偶奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1-n n S S ＝偶奇 （10）⎩⎨⎧=≥-=-111)2(S a n S S a n n n}{n a 为等比数列，则有（1） 只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(*N n m qa a mn m n ∈=-（3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ⋅=⋅，特殊的：若m+n=2r ,则有：2r n m a a a =⋅ （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ⋅，}{nnb a ，{n ca }为等比数列（0≠c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0()0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cqa n n n n二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，n da n d s n )2(212-+=二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++nn n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。

利用⎩⎨⎧<≥+001n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。

等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。

3、遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的问题应利用⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n4、满足⎩⎨⎧+==+)(11n f a a aa n n 的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2n , 求a n ； 满足⎩⎨⎧==+)(11n f a a aa n n 的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=1+n na n , 求a n ；三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列：2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=； 等比数列：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ；(2)分组求和：如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和 可进行分组即：2374111111132-+++++++++-n aa a a n前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=12)13(12)13(a n n a nn S n ）(3)裂项法：如)2(1+=n n a n ，求S n ，常用的裂项111)1(1+-=+n n n n ，)211(21)2(1+-=+n n n n ；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n －1)x n －1 注意讨论x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠-+++--==+1)1()1()12()12(1212x x x x n x n x n S n n n(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。

如求证：C n 0+3C n 1+5C n 2+… +(2n —1) C n n =(n+1)2n►名题归类例释错位相减法：例1 n n 2n164834221S +⋯⋯++++=求和 例2 求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n－1)a n-1，…(a≠1)的前n 项和．解：因 S n =1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n-1， (1) (1)×a 得aS n =a ＋3a 2＋5a 3＋…(2n－3)a n-1＋(2n －1)a n ，（2）两式相减得(1－a)S n =1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n-1－(2n －1)a n =2(1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n-1)－(2n －1)a n-1=1)12(1)112-----⋅n n a n aa （ 所以:a a n a a S n n n -+----=11)12()1()1(22例3．已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列； （Ⅱ）数列{}nna 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）121nn n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅， ∴11111(1)2n na a +-=- 又123a =，∴11112a -=，∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+． 设23123222n T =+++…2n n+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n+-++，② 由①-②得2111222n T =++ (111)11(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)2n n n ++=．∴数列{}n na 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 例4：已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+ a 2+ a 3=12，令b n = a n x n (x ∈R)，求数列{b n }的前n 项和公式。

裂项相消法：例1 求和：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n例2：数列{a n }通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，求项数。

例3：求和)12()12()2(534312222+⋅-++⋅+⋅=n n n S n 分部求和法：例1 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n nn a a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例2已知数列}a {n 的通项公式为⎩⎨⎧-=为偶数）（为奇数）（n 2n 5n 6a n n ，求其前n 项和Sn 例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n ；例4：22222)1()1()1(n n xx x x x x ++++++倒序相加法：例1 sin 21°+ sin 22°+ sin 23°+……+ sin 288°+ sin 289°的值例2 设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001解：因为nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 （1）0111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ （2）（1）+（2）得01101102()()()nn n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++++0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+110()2n n n S a a -+∴=+⋅例3设221)(+=xx f ，利用课本推导等差数列的前n 项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。