平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论图形符号语言文字语言(读法) 点A 在直线a 上。
点A 不在直线a 上。
点A 在平面α内。
点A 不在平面α内。
直线a 、b 交于A 点。
直线a 在平面α内。
直线a 与平面α无公共点。
直线a 与平面α交于点A 。
平面α、β相交于直线l 。
α(平面α外的直线)表示α或a A α=。
2、平面的基本性质公理1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭。
如图示:应用:是判定直线是否在平面内的依据,也是检验平面的方法。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示:应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上。
例1.如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,直线AB ,BC ,AD ,DC 分别与平面α相交于点E ,G ,H ,F .求证:E ,F ,G ,H 四点必定共线.解:∵AB ∥CD ,BA αD CB A∴AB ,CD 确定一个平面β.又∵AB α=E ,AB ⊂β,∴E ∈α,E ∈β,即E 为平面α与β的一个公共点.同理可证F ,G ,H 均为平面α与β的公共点.∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E ,F ,G ,H 四点必定共线.说明:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理2,即先证明这些点都是某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论. 例2.如图,已知平面α,β,且α β=l .设梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AB ⊂α,CD ⊂β,求证:AB ,CD ,l 共点(相交于一点). 证明 ∵梯形ABCD 中,AD ∥BC , ∴AB ,CD 是梯形ABCD 的两条腰. ∴ AB ,CD 必定相交于一点, 设AB CD =M .又∵AB ⊂α,CD ⊂β,∴M ∈α,且M ∈β.∴M ∈α β.又∵α β=l ,∴M ∈l ,即AB ,CD ,l 共点.说明:证明多条直线共点时,一般要应用公理2,这与证明多点共线是一样的.公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈。
应用:①确定平面;②证明两个平面重合 。
例3.已知:a ,b ,c ,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a ,b ,c ,d 共面.证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a ,b ,c 相交于一点A , 但A ∉d ,如图1.∴直线d 和A 确定一个平面α. 又设直线d 与a ,b ,c 分别相交于E ,F ,G , 则A ,E ,F ,G ∈α. ∵A ,E ∈α,A ,E ∈a ,∴a ⊂α.同理可证b ⊂α,c ⊂α.∴a ,b ,c ,d 在同一平面α内.2o 当四条直线中任何三条都不共点时,如图2. ∵这四条直线两两相交,则设相交直线a ,b 确定一个平面α.设直线c 与a ,b 分别交于点H ,K ,则H ,K ∈α.又 H ,K ∈c ,∴c ⊂α. 同理可证d ⊂α.∴a ,b ,c ,d 四条直线在同一平面α内.α b a dc G F E A图1 a b c d α H K图2 α DC BAl 例2βM说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。
推论1: 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,lα 。
推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。
推理模式:P b a = ⇒存在唯一的平面α,使得,a bα。
推论3: 经过两条平行直线有且只有一个平面。
推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α。
练习:1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中,A 1C 1 B 1D 1=O 1,B 1D 平面A 1BC 1=P . 求证:P ∈BO 1.证明 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, ∵B 1D 平面A 1BC 1=P ,∴P ∈平面A 1BC 1,P ∈B 1D . ∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D .∴P ∈平面A 1BC 1,且P ∈平面BB 1D 1D .∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ,∵A 1C 1 B 1D 1=O 1,A 1C 1⊂平面A 1BC 1,B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ,∴O 1∈平面A 1BC 1,且O 1∈平面BB 1D 1D . 又B ∈平面A 1BC 1,且B ∈平面BB 1D 1D , ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D =BO 1.∴P ∈BO 1说明一般地,要证明一个点在某条直线上,只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。
(Ⅱ)、空间两条直线1、空间两直线的位置关系:(1)相交——有且只有一个公共点;(2)平行——在同一平面内,没有公共点;(3)异面——不在任何..一个平面内,没有公共点;2、公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推理模式://,////a b b c a c ⇒。
3、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角A 1 A BB 1 DD 1C C 1O 1P相等。
4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。
5、异面直线判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
推理模式:,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线。
异面直线的判定方法:①判定定理;②定义法;③反证法是证明两直线异面的有效方法。
例1.已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ,a A ∈,a B ∈,b C ∈,c D ∈,求证:AD 与BC 是异面直线.证一:(反证法)假设AD 和BC 共面,所确定的平面为α,那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内,∴直线a 、b 、c 都在平面α内,与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾,假设不成立,∴AD 和BC 是异面直线。
证二:(直接证法)∵a ∩c=P ,∴它们确定一个平面,设为α,由已知C ∉平面α,B ∈平面α,AD ⊂平面α,B ∉AD ,∴AD 和BC 是异面直线。
6、异面直线所成的角:已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b '',,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,把,a b ''所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角).为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上。
异面直线所成的角的范围:]2,0(π。
7、异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥。
8、求异面直线所成的角的方法:几何法:(1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线;(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。
向量法:用向量的夹角公式。
例2.在正方体-ABCD ''''D C B A 中,M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点,P 为上底面ABCD 的中心,则直线PB 与MN 所成的角为( A )()A 30()B 45()C 60()D例3. 一条长为cm 2的线段AB 夹在互相垂直的两个平面α、β之间,AB 与α所成角为045,与β所成角为030,且l =βα ,l AC ⊥,l BD ⊥,C 、D 是垂足,求(1)CD 的长;(2)AB 与CD 所成的角 解:(1)连BC 、AD ,可证AC ⊥β,BD ⊥α,∴ABC=300, ∠BAD=450 ,Rt △ACB 中,BC=AB ·cos300=3 , 在Rt △ADB 中,BD=AB ·sin450=2P B CDb c aAEGFDB αβ在Rt △BCD 中,可求出CD=1cm (也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得)(2)作BE//l ,CE//BD ,BE ∩CE ,则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角,连AE ,由三垂线定理可证BE ⊥AE ,先求出AE=3,再在Rt △ABE 中,求得∠ABE=600。
说明:在(3)中也可作CH ⊥AB 于H ,DF ⊥AB 于F ,HF 即为异面直线CH 、DF 的公垂线,利用公式CD 2=CH 2+DF 2+HF 2-2·CH ·DFcos α,求出cos α=33。
9、两条异面直线的公垂线、距离:和两条异面直线都垂直相交....的直线,我们称之为异面直线的公垂线。
理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离。
两条异面直线的公垂线有且只有一条。
计算方法:①几何法;②向量法。
例4.在棱长为a 的正四面体中,相对两条棱间的距离为__ _.(答案:a 22) 例5.两条异面直线a 、b 间的距离是1cm ,它们所成的角为600,a 、b 上各有一点A 、B ,距公垂线的垂足都是10cm ,则A 、B 两点间的距离为_______. 答案:cm cm 301101或练习:1.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中,求证:B 1D 被平面A 1BC 1分成1∶2的两段.证明:如图1,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 连结B 1D 1,A 1C 1,BD ,AC . 设B 1D 1 A 1C 1=M ,BD AC =N . ∴ M ,N 分别是B 1D 1,AC 的中点. 连结BM ,D 1N .∵ BB 1∥DD 1,且BB 1=DD 1,∴ 四边形BDD 1B 1是平行四边形.在平面BDD 1B 1中,设B 1D BM =O ,B 1D D 1N =O 1,在平行四边形BDD 1B 1中, ∵ D 1M ∥NB ,且D 1M =NB ,∴ 四边形BND 1M 是平行四边形.∴ BM ∥ND 1,即 OM ∥O 1D 1,∴ O 是BO 1的中点,即 O 1O =OB 1. 同理,OO 1=O 1D . ∴ O 1O =OB 1=O 1D . 综上,OB 1∶OD 1=1∶2.2.如图,已知平面α、β交于直线l ,AB 、CD 分别在平面α,β内,且与l 分别交于B ,D 两点.若∠ABD =∠CDB ,试问AB ,CD 能否平行?并说明理由.证明:直线AB ,CD 不能平行.否则,若AB ∥CD ,则AB ∥CD 共面,记这个平面A 1 AB B 1 DD 1 CC 1OA 1 AB B 1 D D 1C C 1图1 MON O 1∴ AB ,CD ⊂γ.∴ AB ⊂α,D ∈γ.由题知,AB ⊂α,D ∈α,且D ∉AB ,根据过一条直线及这条直线外一点,有且仅有一个平面,α与γ重合.同理,β与γ重合.∴ α与β重合,这与题设矛盾. ∴ AB ,CD 不能平行.3.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求证:CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线. 证明:假设CD 1所在的直线与BC 1所在的直线不是异面直线.设直线CD 1与BC 1共面α. ∵C ,D 1∈CD 1,B ,C 1∈BC 1,∴C ,D 1,B ,C 1∈α. ∵CC 1∥BB 1,∴CC 1,BB 1确定平面BB 1C 1C , ∴C ,B ,C 1∈平面BB 1C 1C .∵不共线的三点C ,B ,C 1只有一个平面, ∴平面α与平面BB 1C 1C 重合. ∴D 1∈平面BB 1C 1C ,矛盾.因此,假设错误,即CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线.基础巩固训练1、 下列推断中,错误的是( )。