一元二次方程讲义(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

例5、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

6、方程()()02=-+-+-ac x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -7、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法典型例题：例1、解方程：();08212=-x （2）7)132=+x （ ()();09132=--x（4）()()2221619+=-x x （5）11162492=+-x x例2、解关于x 的方程：02=-b ax3. 下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x 类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

变式1：已知041122=---+x x xx ，则=+x x 1 . 变式2：如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

例4、分解因式：31242++x x类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x ※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2. （1）221694b a -(平方差) (2) y x y x y x 3234268-+-(提公因式)（3）22)(4)(n m n m --+（平方差) （4）962++a a (完全平方式)(5）223612y x xy ++- (完全平方式) （6）4)(5)(2++++b a b a （十字相乘法）（7）22127q pq p +-（十字相乘法） （8）32)2(2)2(5m n n m n ---(提公因式)例3、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

例4、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x例5、解方程： ()04321322=++++x x例6、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。

变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。

例7、解下列方程(1) (2x – 3)2 = (3x – 2)2 (2)4x+145 -x-52 = 23x+2(4) 5m 2 – 17m + 14=0 (5) (x 2 +x+1)(x 2 +x + 12)=42于零时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式,就可得到方程的根。

⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。

类型五、 “降次思想”的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

典型例题：例1、已知0232=+-x x，求代数式()11123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。

例4、用两种不同的方法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

ac x x a b x x =-=+2121,例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、22b a +之间的运算关系.例2、解方程组：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+.2,10)2(;24,10)1(22y x y x xy y x说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

例7、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得（ ）.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2二、填空3．方程9x 2=25的根是___________.4.已知二次方程x 2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.5.关于x 的方程6x 2-5(m-1)x+m 2-2m-3=0有一个根是0,则m 的值为__________.6.关于x 的方程(m 2-m-2)x 2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x 2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程(x+2)(x-2)=1. (3x-4)2=(4x-3)2 3x2-4x-4=0. x2+x-1=0. x2+2x-1=0. (2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法9．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=010．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。