第十讲 随机变量及其分布§ 常用离散型分布Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型§2.4§2.5⎧⎨⎩常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论）2.4.1 二项分布(以n 重伯努利试验为背景的分布)1. 二项分布的定义与记号 记=X “n 重伯努利试验中A 发生(即‘成功’)的次数”，则X 为离散型..V R ，其可能值为n ,,2,1,0⋅⋅⋅.且由事件的独立性可得n k p p C k X P kn k k n,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-. 其中)(A P p =,满足10<<p .基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下：若..V R X 的分布列为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-,则称X 服从参数为p n ,的二项分布（因其形式而得名），记为~X b ),(p n . Remarks)i 容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性..93.P)ii 实际中二项分布的例子：.93.P☆检查不合格品率为p 的一批产品中的10件，其中不合格品数~X b ),10(p ；☆随机调查色盲率为p 的任意50个人中的色盲人数~Y b ),50(p ；☆命中率为p 的射手5次射击中命中次数~Z b ),5(p . 2. 利用二项分布的分布列计算概率例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲.101.P 习题的第2题)一条自动化生产线上产品一级品率为，检查5件，求至少有2件一级品的概率.解 记X =“抽检5件产品中一级品的件数”，则依题意可知~X b )8.0,5(，于是(P 抽检5件中至少有2件是一级品)()()()()()()54115521210110.810.80.810.80.99328P X P X P X P X C C =≥=-<=-=-==-⨯⨯--⨯⨯-=例 2.4.2 已知~X b ),2(p ，~Y b ),3(p ，若()519P X ≥=，求()1P Y ≥.解 由~X b ),2(p 及()519P X ≥=，得 ()()54011199P X P X ==-≥=-=，即94)1(202=-p p C ，解之得 31=p 或 34=p (舍去), 于是~Y b )31,3(，所以()()03031119110113327P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫≥=-==--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 二点分布(二项分布的特殊情形)1=n 的二项分布),1(p b 称为二点分布，或称0-1 分布，易见，若..V R X 的分布为二点分布),1(p b ，则其分布列为1,0,)1()(1=-==-x p p x X P xx . 表格列示就是Remark (回到n 重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记X =“n 重伯努利试验中‘成功’的次数”，则()~,X b n p ；又记i X ="n 重伯努利试验中第i 次试验'成功'的次数"，则()~1,,1,2,,,i X b p i n =易见1,2,,n X X X 相互独立(..V R 的独立性第三章中讨论)，且1ni i X X ==∑.这结果表明：服从二项分布),(p n b 的..V R 是n 个独立的二点分布),1(p b 的..V R 之和. 4. 二项分布的期望与方差若..V R ()~,X b n p ，则EX np =，()1DX np p =-. Proof 由()~,X b n p ，得 ()()1,0,1,,n kk knP X k C P p k n -==-=于是∑===nk k X kP EX 0)(∑=--=nk k n k k n p p kC 1)1(∑=-------=nk k n k k n p p kC np1)1()1(111)1(1)]1([--+=n p p npnp =. 又∑=+-=⋅⋅⋅===nk np p n n k X P k X E 0222)1()()(，于是)1()()1()()(2222p np np np p n n EX X E DX -=-+-=-=.Remarks)i 若X ～),1(p b ，则)1(,p p DX p EX -==. )ii n 一定时，对服从二项分布),(p n b 的..V R X 取k 的概率，即)(k X P =变化特点的描述：如..V R X ～),10(p b ，p 分别取8.0,5.0,2.0时，)(k X P =的变化特点是1) )(k X P =的峰值出现在接近np 的k 值处； 2) )(k X P =的峰值随p 的增大而右移. 教材.95.P 有相应的图形揭示. 例2.4.3 (自学) 2.4.2泊松分布 1.泊松分布定义与记号若..V R X 的分布列为⋅⋅⋅===-,2,1,0,!)(k e k k X P kλλ.其中0>λ，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X ～)(λP .Remarks)i 泊松分布的分布列满足非负性和正则性.)ii 一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从泊松分布的实例..96.P 2. 泊松分布的期望与方差若X ～)(λP ，则λ==DX EX .(参数既是期望也是方差！)Proof .9796.-P Remarks)i 若X ～)(λP ，则λ==DX EX .记住这个结论是主要的，其证明看过即可.)ii 对服从泊松分布)(λP 的..V R X 取k 的概率，即)(k X P =变化特点的描述：如..V R X ～)(λP ，λ分别取0.4,0.2,8.0时，)(k X P =的变化特点是1) )(k X P =的峰值出现在接近λ的k 值处； 2) )(k X P =的分布随λ的增大趋于对称. 教材.97.P 有相应的图形揭示. 3. 泊松分布应用例例 2.4.4 一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为5.0=λ的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率.解 记X =“该铸件上的砂眼数”，则X ～)5.0(P ，于是(P 铸件合格)=910.0)1(=≤X P .(用1,5.0==k λ查.421.P 的泊松分布表) 从而(P 铸件不合格)=09.0910.01)1(1=-=≤-X P .例2.4.5 .98.P (自学) 4. 二项分布的泊松分布近似 Remark问题：二项分布概率计算在n 较大时计算量很大，如何处理解决方法：转为泊松分布作近似计算. 理论依据：泊松定理.定理2.4.1（泊松定理）若..V R ()~,X b n p ,则当n 充分大，且p 足够小时，则有()(1)!kkk n kn P X k p p e k C λλ--==-≈，其中np =λ.Proof .98.P (略) Remarks)i 使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果n 不是很大，p不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是近似的效果不好而已.)ii 对不同的n 、p 值，利用定理2.4.1的近似效果揭示. 见.99.P 表泊松定理应用例例2.4.6 已知某种疾病的发病率为，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率.解 设X =“该单位患此病的人数”，则X ~)001.0,5000(b ，于是(P 该单位5000人患此病的人数不超5人) )5(≤=X P∑=--=550005000)001.01(001.0k k k kC ，这里n =5000较大，p =也是足够小，于是，由泊松定理可取5001.05000=⨯==np λ，做近似计算，所求概率为616.0!5)5(5=≈≤∑=k kk X P . 最后一步用5,5==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.例2.4.7 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100 000元的赔偿.据生命表知这类人的年死亡率为.试求保险公司在这项业务上(1)亏本的概率；(2)至少获利500 000元的概率. 解 记X =“10 000名投保人中在一年内死亡的人数”，则X ~b(10000,，又保费收入为()10000200200⨯=万元(1)易见，事件“亏本”=“10200>X ”=“20>X ”,这里n =10000已充分大，p =也是足够小.于是，由泊松定理可取10001.010000=⨯==np λ，做近似计算，所求概率为)20()(>=X P P 亏本002.0998.01!101)20(120=-=-≈≤-=∑=k kk X P .其中，倒数第二步用20,10==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.(2)注意到，事件“至少获利50万元”=“1050200-≤X ”=“15≤X ”，于是(P 至少获利50万元)15()≤=X P 951.0!10150=≈∑=k kk . 其中，最后一步用15,10==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.例2. 4.8 （自学） 2.4.3超几何分布.102101.-P2.4.4几何分布与负二项分布.104102.-PRemark 同学们自行了解以上两个专题的内容. ☆本节作业：习题 .106104.-P上上次布置： 3. 6. 上次布置： 7. 9 本次布置： 15.。