三、善待不期而遇的亮点，诱发学生思 考。课堂教学是一个动态生成的过程，教学的 行进不可能按照教师的预设一成不变，因为 学生是一个个鲜活的生命体，他们并非空着
脑袋走进课堂，对于数学他们有着属于自己 的 、个 性 化 的 理 解 ，也 许 他 们 的 想 法 有 时 不 是 纯 数 学 的 ，甚 至 经 不 起 推 敲 ，然 而 正 是 这 些 鲜 活的想法，暴露了他们最真实、最原始的思 维，展现了他们真实而生动的认识视界。教学 中 ，我 们 面 对 不 期 而 遇 的 问 题 ，不 能 不 分 青 红 皂白一棍子将其打死，而是要用积极的眼光 去关注，用聪慧的心灵去呵护。
（作者单位：山西省中阳县宁乡中心校钢城 小学）
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四 、开 展 有 效 的 数 学 活 动 ，引 导 学 生 主 动 获 取 知 识 。《数 学 课 程 标 准》强 调 ：“ 数 学 教 学 活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上，向学生提供充分从事 数 学 活 动 的 交 谈 会 ”，“ 动 手 实 践 、自 主 探 索 与 合作交流是学生学习数学的重要方式，数学 学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和 富有个性的过程”。
A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 y = f
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数
函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个
(x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。
(C) f(x)=f(x+2)
(D) f(x+3) 是奇函数
不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=_____.
周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。
∴ 函数 f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函 数,所以函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由
③若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函数.∴f(-x- f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周
一、函数自身的对称性 定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)
②函数 y = f (x)与 a－x = f (a－y)的图像关于 直线 x +y = a 成轴对称。
③函数 y = f (x)与 x－a = f (y + a)的图像关 于直线 x－y = a 成轴对称。
推论：函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图 像关于直线 x = y 成轴对称。
②若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x =
解: ∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数，
【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 f
a 和直线 x = b 成轴对称（a≠b），则 y = f (x)是
∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),
(x-4)=-f(x),所以 f(x-4)=f(-x),所以,由 f(x)为奇函
题：
数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所 示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个 不同的根x1,x2,x3,x4, 不妨设x1＜x2＜x3＜x4 由对称性
定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2b－f (2a－x)的 图像关于点 A (a ,b)成中心对称。
杨补连
在新课程理念下，有效的数学教学要以 学生的进步和发展为宗旨，教师必须具有一切 为学生发展的思想，运用科学的教学策略，使学 生乐学、学会、会学，促进学生的全面发展、主动 发展和个性发展。那么怎样才能“为了学生的发 展而教”?怎样才能在小学数学教学中杜绝那些 将无效的教学当做有效的现象呢?
一、联系学生的生活实际，激发学生求知 欲。数学源于生活，又服务于生活。教学中，我 们 着 力 探 索 与 构 建 生 活 数 学 的 教 学 体 系 ，引 导学生把数学课堂上所学的知识和方法运用 到生活实践中，鼓励他们把生活中碰到的问 题带进课堂，尝试着用数学方法来解决。
成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称（a≠b）， 1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3），即 （f x+3）是奇 期的周期函数,又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函
则 y = f (x)是周期函数，且 4| a－b|是其一个周 期。
二、不同函数对称性的探究
函数。故选 D 例 3. （2010 江西理数）9． 给出下列三个命
充要条件是 f (x) = f (－x)
例 2：（2009 全国卷Ⅰ理）函数的定义域为 R，
例 4.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇
定理 3. ①若函数 y = f (x) 图像同时关于点 若 f(x+1)与（f x-1）都是奇函数，则( D )
函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增
·教 育 教 学 研 究
2012 第 6 期（总第 66 期）
高中函数对称性性质的应用
初洪志
高中函数的对称性是函数的一个基本性 图像关于直线 x = a 成轴对称。
②若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像关于直线
质，而对称关系在教材中没有直接给出，但在高 考题中却经常出现。所以补充这个性质对解答 高考题具有十分优越的条件，本文就对称性在 高考中的应用简单概述。
f (a +x) = f (a－x) 即 f (x) = f (2a－x)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
得 f(-x)=-f(x)，所以 f（x）是周期为 2 的周期函
推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的
显然答案为 D
数，选择 C。
二 、创 设 生 动 有 趣 的 情 境 ，提 高 学 生 参 与 度。“情境”与学生的数学学习直接相关。“让 学 生 在 生 动 具 体 的 情 境 中 学 习 数 学 ”是《数 学 课程标准》 提倡的重要理念之一。我们都知 道，现行教材为学生设计了富有童趣的学习
素材和活动情境，有生动的童话、有学生熟悉的 活动情境，美丽的图画中蕴含着许多奇妙的知 识。我们在教学中注意结合实际，创造性地把静 态的文本资源加工成动态的数学学习资源。如 教学“找规律”时，充分利用主题图创设动物园 开庆祝大会的情境。美丽的画面、生动的情节吸 引学生走进情境：有几只小兔？几只蘑菇？它们 是怎么排列的？有几块手帕？几个夹子？它们是 怎么排列的？篱笆和木桩呢？学生在饶有兴趣的 观察比较、充分交流的活动中，感悟“两种物体 一一间隔排列，当两端物体相同时，两端物体的 个数比中间物体的个数多 1”这一规律，这样，学 生的数学学习过程变得生动有趣，他们在获取 数学知识的同时还获得了积极的情感体验。
例 1：（2006 年全国卷 II）函数 y＝f(x)的图像
与函数 g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则 f(x)的表达式为 ( )
(A)f(x)＝
1 log2x
(x＞0)
(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、
周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除 A、 B，验证③, f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x),又通过奇函数
①函数y=1Fra bibliotek21n
1-cosx 1+cosx
与 y=1n
tan
x 2
是同
知 x1+x2=-12 4=-8
x3+x4=4 所 以 x1+x2+x3+x4=-12 +
定理 5. ①函数 y = f (x)与 y = f (2a－x)的 一函数；
（作者单位：黑龙江省巴彦县高级中学）
小学数学有效性教学的思考与实践
y=x
对称，则函数
y=f(2x)与
y=
1 2
g(x)的图像也关
于直线 y=x 对称；
③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)
=f(2-x)，则 f(x)为周期函数。
其中真命题是
对称的充要条件是
三、函数对称性应用举例
A. ①② B. ①③
C.②③
D.
f (x) + f (2a－x) = 2b 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称 的充要条件是 f (x) + f (－x) = 0 定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是