一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)
⑵选择建模方法(方法)
⑶推导模型的数学表达式
⑷求解模型
⑸回答问题。
㈠问题的提出
1.具体问题
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明
⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)15100
1(q x
q ⨯+=（辆）； ⑶利润0%)15100
1)(1500(q x
x P ⨯+
-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了
x %15。
⒋问题的分析
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解
1.提出问题
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
所以目标时求利润P 的最大值。
2.选择建模方法
设)(x f y =在S x ∈处是可微的，若)(x f 在x 处达到极大或极小,则
0)(='x f 。
3.推导模型公式
记0/q P y =作为求最大值的目标变量，x 自变量，我们的问题就化为在集合
}0:{≥=x x S 上求下面函数的最大值
4.利用第二步中确定的标准过程求解这个模型
对%)15100
1)(1500()(⨯+
-==x
x x f y 在区间x ≥0上求最大值。
利用matlab
软件作出)(x f z =的图像。
程序： x=400:450;
y=(1500-x).*(1+x./100*0.15); plot(x,y)
图1折扣x 与利润的关系
如图1可知)(x f y =关于x 是二次的曲线图，易得25.1003.0)(+-='x x f ，则在31250=
x 处0)(='x f 。
由f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31250,上单升,而在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,31250上单减.故点3
1250
=
x 是整体最大值点. 因为4.1760)31250(=f ,从而点()⎪⎭
⎫
⎝⎛=4.1760,31250,y x 是f 在整个实轴上的整体最大值点,也是区间x ≥0上的最大值点。
5.回答问题
⑴由第四步我们得到的答案是在打约416.7美元的折扣的时候，可以获得最大利润。
只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。
⑵对问题二进行粗灵敏度分析
前面我们假定15.0=r （辆/百美元），现在假设r 的实际值是不同的，对几个不同的r 值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于r 的敏感程度有所了解.即给定r 对)100
1)(1500()(r x
x x f y +-==求导，
令0)(='x f ，可得相应x 值，不同的r 值求出x 如表1。
表1所打折扣x 关于销售量的增长速率r 的灵敏性
+
图2折扣x 关于销售量的增长速率r 的曲线
根据图1我们可以看出折扣x 对参数r 是很敏感的. ⑶由第⑵知折扣x 与参数r 之间的关系为r
x 50750-
=，所以当每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，即%10=r 时，折扣为250可以是利润最大，此时最大利润为1562.500q 。
将r x 50750-
=代入，可得利润750255625++=r
r P ，利用matlab 软件做出)(r f y =的图2。
程序如下：
r=0.1:0.001:0.15; y=5625*r+25./r+750; plot(r,y,'g*') 结果如下：
图3利润p 关于销售量的增长速率r 的曲线
所以当每100美元的折扣的提高量为10%～15%之间的某个值时,总利润随着这个值得增加而增加。
⑷将初始销售量看成常量1，则不的打折利润为1500，现在利润
150025.10015.02++-=x x P ，当利润下降时，就有1500<P ，即,1500150025.10015.02<++-x x 解得33.833>x ，即当折扣大于833.33美元时，
利润会降低。
汽车制造商要保证售出该品牌的汽车可获利1500美元,折扣就要低于833.33美元。