第五章 概率统计模型
5.1 报童的诀窍 5.1* 轧钢中的浪费(选讲) 5.2 刀具的最优更换 5.3 软件开发人员的薪金 5.3* Matlab与数学建模(选讲)
确定现象
随机现象
统计学家和赌场经理对待随机现象的态度几乎一样， 只是前者用的是随机数，后者用的是扑克牌——斯汀
• 骰子赌博的诀窍
• 敏感问题调查
m
l
y
, ,
J ( )
( )
P ( m ) l p ( x ) dx
p(x)
1
2
( xm )2
e
2 2
z
( z ) z ( y ) dy
(y)
1
y2
e2
2
J ( )
( )
( z)
J (z) (z)
已知, 求 z 使J(z) 最小
求解
( z)
J (z) (z)
P P(x l) P P(x l)
切掉多余部 分的概率
整根报废 的概率
p(概率密度)
m P , P P
m P , P
存在最佳的m使总的浪费最小 0
PP´´ l
P mm
x
建模 选择合适的目标函数
总浪费 =
切掉多余部分 的浪费
+
整根报废 的浪费
l
W l ( x l ) p ( x ) dx xp ( x ) dx
n
0 p ( r ) dr
n p ( r ) dr
ab
bc
取n使
n
0
p ( r ) dr
P, 1
n
p ( r ) dr
P 2
p
P
ab
1
P
bc
2
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
( a b ) n , (b c ) n
5.1* 轧钢中的浪费
背 轧制钢材 • 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 景 两道工序 • 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度
调查目的：敏感问题出现的概率x有多大?
调查问卷：1.敏感问题，2.普通问题；回答：是，否
被调查人按单双学号回答问题1或2，答卷只有是或否
已知普通问题回答“是”的先验概率 p设调查人数为n，其中回答“是”的人数为m
xn / 2 pn / 2 m
x 2m / n p
随机模型 确定性因素和随机性因素
r n 售出 r 赚 ( a b ) r
退回 n r 赔 ( b c )( n r )
r n 售出 n 赚 ( a b ) n
n
G ( n ) [( a b ) r (b c )( n r )] f ( r ) ( a b ) nf ( r )
r0
r n 1
粗轧
随机因 素影响
钢材长度正态分布
均值可以调整 方差由设备精度确定
粗轧钢材长 度大于规定
精轧
切掉多余 部分
粗轧钢材长 度小于规定
整根报废
问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小.
分析 设已知精轧后钢材的规定长度为 l，
粗轧后钢材长度的均方差为 .
记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的
钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m, 2).
n
(b c ) p ( r ) dr
dn
0
( a b ) np ( n ) n ( a b ) p () 0 p ( r ) dr ( a b ) n p ( r ) dr
dG 0
dn
n
0 p ( r ) dr
n p ( r ) dr
a b
bc
结果解释
xp ( x ) dx l lp ( x ) dx m lP
直接方法
粗轧一根钢材平均浪费长度
粗轧N根 成品材 PN根 总长度mN 成品材长度l PN
共浪费长度 mN-lPN
mN lPN
m lP
N
建模 选择合适的目标函数
粗轧一根钢材平均浪费长度 mN lPN m lP
N
粗轧N根得成品材 PN根
求 n 使 G(n) 最大
求解 将r视为连续变量 f ( r ) p ( r ) dr (概率密度）
n
G ( n ) 0 [( a b ) r (b c )( n r )] p ( r ) dr n ( a b ) np ( r ) dr
dG ( a b ) np ( n )
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
5.1 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
dJ 0
dz
( z ) ( z ) ( z ) 0
( z ) ( z )
( z ) z ( y ) dy
(y)
1
y2
e2
2
z (z) / (z)
F (z) z F (z) (z) / (z)
求解 F ( z ) z
F ( z ) ( z ) ( z ) 简表
得到一根成品材平均浪费长度 mN lPN
m l
PN
P
略去常数l, 记 J ( m ) m
P(m )
更合适的目标函数
P ( m ) l p ( x ) dx , p ( x )
1
( xm )2
e
2 2
2
优化模型：已知l ,, 求m 使J(m) 最小.
求解
m J (m )
P (m )
xm
z
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5
F(z) 227.0 56.79 18.10 7.206
z
0
0.5 1.0
1.5
F(z) 1.253 0.876 0.656 0.516
例 设l=2(米), =20(厘米)，
求 m 使浪费最小.
=l/=10
z*= – 1.78
*= – z*=11.78
-1.0 3.477 2.0 0.420
-0.5 1.680
2.5 0.355
10
z
5
F(z)
m*= *=2.36(米)
-2.0 z * -1.0 0
1.0
2.0 z
轧钢中的浪费
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量.
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c