不确定性条件下最优路径的选择摘要目前，交通拥挤和事故正越来越严重的困扰着城市交通。
文章针对车辆的行驶时间存在的不确定性给出了最优路径的评价模型，帮助驾驶员寻找一条可靠、快速、安全的最优路径。
文章还分析不同路段之间的时空相关性对行程时间的影响，为驾驶员路径的选择做了周全的考虑。
针对问题一，我们建立了两种不同评价标准的最优路径评价模型.模型Ⅰ基于对存在驾驶员偏好的最优路径选择问题的研究,提出了一种能够综合反映驾驶员偏好的多属性决策方法,建立了驾驶员偏好与路径属性总偏差最小的最优评价模型。
模型Ⅱ基于对不确定性条件下车辆准时到达终点的可靠性的分析，定义可靠度来定量描述车辆行驶时间的不确定性，同时利用概率论知识给出了最优路径的数学表达式和定义—在可靠度R≥95%的条件下，预留时间T最短，则为最优路径。
利用MATLAB编程求解，将所建模型应用到例子中，得出的结论是：选择道路A，验证了模型的正确性。
针对问题二，在问题一定义的最优路径的基础上，我们将A～K这11个地点之间的交通网络图看作一个无向赋权图，综合考虑均值、标准差这两个量作为权，建立了图论模型.基于Dijkstra最短路径算法，我们设计了一种能够涉及两个权重的改进算法求解最短路问题.利用MATLAB编程，得出最优路径选择结果为：A→C→K→G→B。
针对问题三，基于车流波动理论，建立行驶时间模型，从时间和空间两个维度描述交通路段之间行驶时间的相关性。
本文逻辑严谨，切入点独到，综合运用多种模型，结果可靠。
关键词：最优路径；Dijkstra算法；图论模型；车流波动理论1．问题的重述在复杂的交通环境下，如何寻找一条可靠、快速、安全的最优路径，已经成为所有驾驶员的共识。
传统的最优路径问题的研究大多数是基于“理想”的交通状况下分析的，即：假设每条路段上的行驶时间是确定的。
在这种情况下，最优路径就是行驶时间最短的路径，可以用经典的最短路径算法来搜索(例如Dijkstra 最短路径算法)。
目前的车辆路径导航系统也大都是基于这种理想的状况下的最优路径算法，寻找行驶时间最短的路径。
事实上，由于在现实生活中，会受到很多不确定性因素的影响，例如：交通事故、恶劣天气、突发事件等，车辆的行驶时间存在着不确定性。
问题一：对于一般的交通网络，假设已知每条路段行驶时间的均值和标准差，请建立数学模型，定量的分析车辆行驶时间的不确定性，然后给出在不确定性条件下车辆从起点到终点的最优路径的定义和数学表达式，将此模型应用到图1的例子中会选择哪条道路。
问题二：根据第一问的定义，已知每条路段行驶时间的均值和标准差(见图、表,图表中A为起点B为终点)，设计算法搜索最优路径，并将该算法应用到具体的交通网络中，用计算结果验证算法的有效性。
如果可能的话，从理论上分析算法的收敛性、复杂性等性质。
问题三：在现实的交通网络中，某个路段发生了交通拥堵，对上游或者下游路段的交通状况有很大的影响，从而导致了交通路段之间的行驶时间有一定的相关性，请建立数学模型描述这种交通路段之间行驶时间的相关性，并将这种相关性应用到第一问和第二问的最优路径搜索问题中，并设计算法解决考虑相关性的最优路径搜索问题，给出算例验证算法的有效性。
如果可能的话，从理论上分析算法的收敛性、复杂性等性质。
2．模型假设1.假设车辆在每条路段上的行驶时间是随机变量；2.假设车辆在同一路段上的行程时间t服从正态分布；3.假设在同密度车流中各单个车辆的行驶状态与前车完全一致；4.假设题目所给数据真实可靠；5.假设各不同路段的期望时间和标准差时间相互独立；6.假设同一路段上下游的期望时间和标准差时间相同。
3．变量说明a:第i条路径的第j个属性的客观值；ijb:第k个出行者对第j个属性的可接受值；kj:第k个出行者对第j个属性的权重；kj(,)ij kjd a b：在第j个属性下,第k个出行者的主观偏好值kj b与第i条路径的客观属性值ij a之间的偏差；iR: 第i条路径的可靠度；iT: 第i条路径到达目的地的预留时间；iμ: 第i条路径行程时间的均值；iσ: 第i条路径行程时间的标准差；ijμ: 从i地到j地的时间均值；ijσ: 从i地到j地的时间标准差；()e l u:赋权图中顶点u的均值；()d l u:赋权图中顶点u的标准差；ew:均值邻接矩阵；dw:标准差邻接矩阵；1()aT t:车辆在驶人流的行驶时间；2()aT t:车辆在排队流中的排队等待时间；3()aT t:在瓶颈段的行驶时间；4()aT t:车辆在瓶颈段下游行驶时间；1()aL t:车辆在瓶颈段上游正常行驶长度；2()aL t:某时刻队列的排队长度；3()aL t:瓶颈段长度；4()aL t:车辆在瓶颈段下游自由行驶的长度；5()aL t:瓶颈段与道路入口间的距离；()aT t:时间t进入路段a的车辆在a上的行驶时间；nk:不同路段的交通流密度（n=1,2,3,4）；nq:不同路段的交通流密度（n=1,2,3,4）；12v v，：区域1,2车辆的平均速度；w v :集结波面的移动速度。
4． 模型的建立与求解4.1问题一的模型建立与求解4.1.1 模型的建立4.1.1.1 模型Ⅰ（1）最优路径评价指标综合考虑影响驾驶员路径的选择因素，本文选择行驶时间、行驶距离、拥挤程度（路上车辆数、排队长度）、出行费用、行驶困难程度（道路宽度等）等作为选择最优路径的评价指标[2]，即决策变量。
图1.最优路径的评价指标（2）最优路径的确定现实生活中，驾驶员依据自身偏好来选择路径时，对于不同的评价指标有着不同要求，且对于评价指标值存在一个可接受范围而不是一个精确值。
并且对于路径而言，由于路径上行驶的速度和数量等方面是动态变化的，这就引起路径自身评价属性值的波动。
故本文以区间的形式来表达评价参数。
设L U ij ij a a ，分别表示第i 条路径的第j 个属性的客观值ij a 的下限和上限，即[]U ij ij ij a a a =L ，，设第k 个出行者对第j 个属性的可接受范围为[]U kj kj kj b b b =L ，，由于种种条件的制约,决策者的主观偏好与客观值之间往往存在着一定的差距。
为了使决策具有合理性,应使决策者的主观偏好与客观属性值的总偏差最小.最终建立如下评价模型定义为最优路径[3]。
min 211((,))n mij kj kj i j d a b ω==∑∑( 1)..s t 0kj ω≥11m kj j ω==∑（1）其中，(,)L L U U ij kj ij kj ij kj d a b a b a b =-+-表示在第j 个属性下,第k 个出行者的主观偏好值kj b 与第i 条路径的客观属性值ij a 之间的偏差；()F ω表示在所有属性下第k 个出行者的主观偏好值与客观属性值的总偏差；kj ω表示第k 个出行者对第j 个属性的权重。
min 211((,))n m ij kj kj i j d a b ω==∑∑( 2)4.1.1.2 模型Ⅱ我们定义可靠度i R 来刻画时间行驶时间的不确定性，[0,1]i R ∈，表示在预留时间i T 之内到达目的地的概率。
假设车辆在同一路段上的行程时间t 服从正态分布N 2(,)μσ，则第i 条路径的可靠度可表示为：0(0)()()i i i i i i i i T R P t T μμσσ--=≤≤=Φ-Φ.（2）据此，为了尽可能准确的到达目的地，可选取i R =95%.在满足(0)95%i i P t T ≤≤≥的条件下，min {i T }对应道路i 即为最优路径。
4.1.2 模型的求解与检验为了便于求解，我们选取模型Ⅱ进行讨论。
由公式（2）解得1(())i i i i i iT R μσμσ-=Φ+Φ-+ （3）其中，i R =0.95，()1-Φ表示标准正态分布的反函数。
将图1所给的数据： 1=33μ，1=1σ； 2=30μ，2=15σ带入公式（3）计算出：道路A 预留时间134.6min T =，道路B 预留时间258.8min T =，即最优路径为绕城快速路。
结果与实际选择相符，间接验证了模型的正确性。
4.2问题二的模型建立与求解4.2.1 模型的建立对于一般交通网络，为了方便设计算法找到最优模型，我们根据附表中A-H 之间路段的时间均值和时间标准差，将其转化为图论模型。
将11个地点A →H 看成11个顶点，分别从1-11进行标号，构成一个顶点集：{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11V V V V V V V V V V V V =则可将11个地点之间的交通网络图看作一个无向赋权图（图2），每条路为图中的边。
图2. 赋权图根据问题一最优路径的定义，两点线路的均值μ和标准差σ若使得(,)T μσ最小，即所选路线为最优路线。
其中μ为所有参与最优路段的时间均值总和，而σ不具有线性可加性，为所有参与最优路段的时间方差和的算术平方根。
设0-1变量10ij x ⎧=⎨⎩，边V i V j 在最短路径中 ，边V i V j 不在最短路径中则从A 到B 的最优路径数学模型为：min (,)T μσ11=n n ij ij i j xμμ==∑∑..s t σ10ij x =，（4） 其中ij μ表示从i 地到j 地的平均时间，ij σ表示从i 地到j 地时间的标准差。
4.2.2 模型的求解4.2.2.1求解方法本题的求解基于改进后的Dijkstra 算法， Dijkstra 算法是解决赋权图中的最短路问题，其赋权图顶点仅表示一个权重，而本题中每条线路的均值和方差都对最短路径的选择都有影响，所以每个点上有两个权，分别为(),()e d l u l u 。
此外Dijkstra 算法中每次迭代产生的永久标号表示起始点到该点最短路的权，本题则可以考虑基于均值和方差所求出的路径时间最小，以此作为该点权重的取值依据，当所有的点都成为永久标号后，即可得到一颗以起点为根的最短路径树。
4.2.2.2求解步骤详细算法如下：Step1:根据附表数据建立均值邻接矩阵e w ，标准差邻接矩阵d w 。
（附件8.2） Step2:把起点0u 作为永久标记，起点的两个权值00()0,()0e d l u l u ==，其他点的权值均为∞。
Step3:对所有未被标记的点v S ∈，令((),())min{((),()),(()(),(,))}e d e d e e T l v l v T l v l v T l v w uv f v uv =+（5）其中( )T 为公式(3)，(,f v uv 找到min{()}T v 相对应的点u ，标记其为v 的父顶点，同时把v 作为永久标号。
Step3:重复步骤2，直到所有的点成为永久标号。