5)最小内能和最大稳定性
2. 晶体结构与空间点阵
（1）空间点阵：由几何点做周期性的规则排列所形成的三维阵 列。 特征：a 原子的理想排列；b 有14种。其中： 基元－晶体结构的最小单位，离子、原子或分子。在空间点阵 中抽象为质点。 阵点－空间点阵中的点。它是纯粹的几何点，各点周围环境同。 晶格－描述晶体中原子排列规律的空间格架。 （2）晶体结构：原子、离子或原子团按照空间点阵的实际排列。 特征：a 可能存在局部缺陷； b 可有无限多种。 理想晶体结构＝基元＋空间点阵
3.晶胞与晶胞参数
晶胞—晶体中的重复单元，平行堆积可充满三维空间，
形成空间点阵

晶胞类型 ：

固体物理学原胞：仅反映周期性最小的 结晶学原胞 ：反映周期性和对称性 ， 不一定是最小的。

不同晶体的差别：不同晶体的晶胞，其形状、大小
可能不同；围绕每个结点的原子种类、数量、分布 可能不同。
图1-1 晶体点阵及晶胞的不同取法
矢量在参考坐标系X、Y、Z轴上的矢量分量经等比例化简而 得出。
（1）晶向指数的标定 a 建立坐标系。确定原点（阵点）、坐标轴和度量单位（棱 边）。 b 求坐标。u’,v’,w’。 c 化整数。 u,v,w. d 加[ ]。[uvw]（最小整数）。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空不同或正负号不 同的晶向属于同一晶向族。
选取结晶学晶胞的原则：
1. 单元应能充分表示出晶体的对称性；
2.
单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目
尽可能地多；
3.
4.
单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角；
单元的体积应尽可能地小。

EXM. Primitive Cell
For primitive cell, the volume is minimum
晶面间距与晶面指数的关系：
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单
点阵中，通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相 互平行的一组晶面之间的距离d。计算公式见表1-2。
表1-2 不同晶系的晶面间距
晶系 晶面间距 立方
1 h k l 2 d a2
2 2 2
正方
1 d2
六方
h2 k 2 a2 l c 2
Primitive cell Only includes one lattice point

EXM. Complex Lattice
The example of complex lattice
120o
120o
120o
c a
ba
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用 6个参数来表示，此
即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3条棱边的长度a、 b、c和3条棱边的夹角、、，如图1-2所示。
2
斜方
2

1 d2
h 4 3(
hk k 2 a2
l ) c 2
2
1 d2

h2 a2

k2 b2
l c 2
2
[1/2,0,1/2]
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶面、晶向及其表征
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
3.晶带和晶面间距
1.晶面、晶向及其表征

晶面：晶体点阵在任何方向上可分解为相互平行的结点平面，这样
的结点平面称为晶面。

晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵。 同一取向上的晶面，不仅相互平行、间距相等，而且结点的分
第一章晶体结构
1.1 结晶学基础知识 1.2 决定离子晶体结构的基本因素 1.3 单质晶体结构 1.4 晶体的结构与性质—无机化合物结构 1.5 硅酸盐晶体结构
1.1 结晶学基础知识

晶体结构的定性描述
晶体结构的定量描述—晶面指数、晶向指数

一、晶体结构的定性描述
1. 晶体及其特征
2. 晶体结构与空间点阵
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
4.晶系与点阵类型
晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也随之确定，
方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成晶格。 空间点阵中所有阵点的周围环境都是相同的，或者说，所有阵
点都具有等同的晶体学位置。布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数
之间关系的不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的只在晶胞的
等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。
同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何
一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。

晶向指数：用 [uvw] 来表示。其中 u 、 v 、 w 三个数字是晶向
图1-3 晶向指数的确定

晶向指数的确定：将坐标原点选在OP的任一结点O点，把OP 的另一结点P的坐标经等比例化简后按X、Y、Z坐标轴的顺序 写在方括号[ ]内，则[uvw]即为OP的晶向指数。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。 （最小整数？）
3. 晶胞与晶胞参数
4. 晶系与点阵类型
1.晶体及其特征
晶体：构成物质的质点(分子、原子或
离子）在三维空间作有规律的周期性重复
排列所形成的固体。
胰岛素晶体 石英晶体
金属镓晶体
特征：
1)自范性:晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形 能力的性质,又称为自限性.具有规则外形。 2)均一性:指晶体在任一部位上都具有相同性质的特征. 3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质. 4)对称性:指晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置 上有规律地出现,也称周期性.
[1/2,0,1/2]
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic) 三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
a=bc o ===90 a=b=c o ===90 a=b=c o ==90 a=b=dc (a=bc) o ==90 o =120
晶体中质点排列具有周期性和对称性 晶体的周期性：整个晶体可看作由结点沿三个不同 的方向按一定间距重复出现形成的，结点间的距离称为 该方向上晶体的周期。同一晶体不同方向的周期不一定 相同。可以从晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特 征。取出的最小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构
中取出来的反映晶体周期性和对称性的重复单元。
（hkil） i=－（h＋k） 图1-4 六方晶系的晶面指数和晶向指数
3.晶带和晶面间距
（1）晶带 a ――：平行于某一晶向直线所有晶面的组合。 晶带轴 晶带面 b 性质：晶带用晶带轴的晶向指数表示；晶带面//晶带轴； hu+kv+lw=0 c 晶带定律 凡满足上式的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带。 推论： （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]： u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1; w=h1k2-h2k1。 （b） 由两晶向[u1v1w1][u2v2w2]求其决定的晶面(hkl)。 H=v1w1-v2w2; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1。
e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;
f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的 六方棱柱体。 四轴定向：晶面符号一般写为（ hkil ），指数的排 列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 1 三轴间夹角为 120o ，c 轴与它们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。 晶向指数和晶向族指数分别用[uvtw]和〈uvtw〉来 表示。其中t=－（u＋v）。 坐标换算法：[UVW]~[uvtw] u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t=-(U+V)/3, w=W
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
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说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行；
c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；
d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相 同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。
顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的面心或晶胞的体心等位
置，7个晶系共包括14种点阵，称为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
表1-1 布拉菲点阵的结构特征 （table1-1 the structural feature of Bravais lattice ）
晶系 三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic) 晶胞参数关 系 abc o 90 abc o ==90 abc o ===90 点阵名称 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方 简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方 简单三方 简单六方 阵点坐标 [0,0,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0]