1.函数y 1 sin x 是(D )
•
(A)奇函数;
解析因为1 si nx 专升本高等数学测试题
(B)偶函数;
1，即0 1 sin x (C)单调增加函数; (D)有界函数. 2,所以函数y 1 si nx为有界函数.
2若f(u)可导，且y f(e x)，则有 B )；
(A) dy f'(e x)dx ；(B) dy f '(e x)e x dx ；
(C) dy X 、X .
f (e )e dx ；(D) dy
x x [f (e )]' e dx .
解析y f (e x)可以看作由y f (u)和u e x复合而成的复合函数由复合函数求导法 f (u) e x f (u) e x,
所以dy dx f'(e x)e x dx .
3. 0 e* B );
(A)不收敛；(B)1; (C) -1 ; (D)0.
解析0 e x dx
4. y 2y y (x 1)e x的特解形式可设为( A )；
解析(A) x2(ax
(C) (ax
b)e x
b)e x
(B)
(D)
x(ax b)e x；
2
(ax b)x .
特征方程为r22r 0，特征根为A = h=1. =1是特征方程的特征重根，于是有y p x2(ax b)e x.
5.
D
2 2 2
y dxdy ( C )，其中D : 1w x y w 4 ；
(A) d 2
r d r ；(B) d r d r
0 1 0 1
2 n 2 2 2 n 2
(C) d
r dr ；
1
(D) 0d 1
0 1
r d r
解析此题考察直角坐标系下的
二
一重积分转化为极坐标形
式.
当
x r cos
y r sin
时,dxdy rdrd ，由于1 w x2 y2w 4 , D表示为1 r 2 , 0
\x2 y2 dxdy r rdrd 2r2dr.
1
D D
x 解：特征方程r 2 2r 1 0,特征根r 1 r 2 1,
解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小 于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解
.即
即0 x . 3,因此，所给函数的定义域为
[0, .3）.
7.求极限x m
解：原式= lim (2 x 2)(2
x 2)
x 2
(2 x)(2 J x 2)
=-.（恒等变换 之后“能代就代”）
4
x sin 冗tdt
1
8.求极限lim ---------------
x
1
1 cos n x
解：此极限是“ 0 ”型未定型，由洛必达法则，得
x x
1
sin n tdt ( 1 sin 冗tdt)
lim -------------- = lim - =lim
x 1 1 cos n x x 1 (1 cos 冗 x)
x 1
x t
9.曲线
3在点（1, 1）处切线的斜率
y t 3,
解：由题意知：
1 t, 3
t 1,
1 t 3,
dvi .it 1
dx
心
3t 2 3
(t)
t 1
Ol t 1
° ,
曲线在点（1, 1）处切线的斜率为 3
10.方程y 2y' y 0,的通解为 _________________
6.函数
1 3 x 2
arcsin( 1)的定义域 __________________________
v'3 x 0, 3 x 2
0,
x ‘ 一 1 1,
2
推得
>'3 x . 3, 0x4,
= ^2 2
1
、、x
2
sin n x n sin n x
通解为 y (C i C 2X )e x .
e X
14.设 f(x) X ，求 f'(x).
e X
解：令y X ,两边取对数得：
ln y e X ln X
两边关于X 求导数得：
1 X ln X
X
e
y' e
y
X
y' y(e X
l n X
X J
X
X
即
y' x"(e X l nx
—).
X
（4）
(1)n1 1
1
n 1 n(n 1)
n 1
n(n 1)
1 而级数 1
收敛，故原级数绝对收敛.
n 1 n(n 1)
1
11.交错级数
（1）n 1
的敛散性为 _________________
n i
n （n 1）
4T ）X .（第二个重要极限）
X
12. lim
(1
解一 原式=lim (1
X
1 X -)X (1 X 1 X —) X
1
X m 0
(1
;)
1 X 1
1
X m[(1 ；)] =ee
解二 原式=lim [(1
X
-)( X
X 2)( X)
]
=e 0
1
13.l X m 0
[
；
=n(1
X)]
解所求极限为
型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成—或一型.
X
m
ln(1 X)
1 lim
- X 0 1
1 X 2X
叫
Hx
15•求f (X ) X 3 + 3X 2在闭区间
5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值
1 pln(1 X)] X
f (x) 6x 6,
f (0) 6 0, f ( 2)
6 0, f (x)的极大值为 f( 2)
4，极小值为f(0)
0.
•/ f( 5)
50,
f (5) 200.
•••比较 f ( 5), f (
2), f(0), f(5)的大小可知:
f (x)最大值为200,最小值为
50.
—dx .
x
解: 令4 1 x t , 则x t 2 1 5
dx 2tdt ，于是
原式= 2t dt = 2 t 1 1dt = 2[ dt dt ]= 1 t 1 t 1 t =2祈 x 2ln 1 V 1 x C . 4
1 J x 17•求定积分 ------ -dx . 0
1 J: x
解: (1 )利用换兀积分法，注意在换兀时必须冋时换限. 令 t Jx ,x t 2 dx 2tdt 当x 0时，t 0，当 x 4时， t 2，于是 41 Vx , 21 t
2
4 —^dx = ——2tdt =[4 2t ——]dt
01 仮
01 t 0L 1 t
2t 2
4 4ln3. 16•求不定积分 ——1
1 <1 21 n1 t C
4t t 2 4ln 1
18.求方程(
e x y e x )dx (e x y e y )dy 0的通解; 解整理得 e x (e y 1)dx e y (e x 1)dy ,
用分离变量法，得 e y
e y
dy
x
e
x
e -dx ,
1
两边求不定积分，得 ln(e y 1)
ln(e x 1) lnC ，
于是所求方程的通解为 e y e y
19. u e x sin xy ,求—
x
(0,1) y
（1,
0）
解：因上e x
x
x
sin xy e cosxy y e x (sin xy ycosxy),
x
e cosxy x,
(0,1)
(1,0)
20.画出二次积分
0 解：D :
2 的图形如右图, e0(sinO cos0) e(cos0 1) e.
2dy
2,
y
4 y2
由图可
知,
所以交换积分次序后，得
1,
2 4 y2
2
2 4『2 f x,y dx的积分区域D并交换积分次序.
2 4 y2
0x4,
D也可表为
0 y ：/4x x2,
21.求平行于y轴，且过点
4 4x x2
°dx 0 f x,y dy.
A(1, 5,1)与B(3,2, 3)的平面方程.
解一利用向量运算的方法。
关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以j •又因为平面过点A与B，所以必有n AB .于是，取n= j AB,
而AB ={2，7，4}，所以4i 2k
，
因此，由平面的点法式方程，得解二利用平面的一般式方程。
由于平面平行于y轴，所以
将代B的坐标代入上述方程，得
2x z 3 0.
4(x 1
)
0(y 5) 2(z 1) 即2x z 3 0.
设所求的平面方程为
B 0，原方程变为
A C D 0,
3A 3C D 0,
Ax By Cz D 0,
Ax Cz 0，又所求平面过点A(1, 5, 1)与B(3,2,
3)
，
解之得A 2C, D 3C,代入所设方程，故所求平面方程为。