第4章一次函数4．1函数和它的表示法4．1.1变量与函数1．了解常量、变量的概念．2．了解函数的概念．3．确定简单问题的函数关系．重点借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．难点怎样理解“唯一对应”．一、创设情境，导入新课如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作交流，探究新知1．气温问题：上图是北京春季某一天的气温T 随时间t 变化的图象，看图回答：(1)这天的8时的气温是____℃，14时的气温是____℃，最高气温是____℃，最低气温是____℃；(2)这一天中，在4时～12时，气温( )，在16时～24时，气温( )．A ．持续升高B ．持续降低C ．持续不变思考：(1)天气温度随____的变化而变化，即T 随____的变化而变化；(2)当时间t 取定一个确定的值时，对应的温度T 的取值是否唯一确定？2．当正方形的边长x 分别取1，2，3，4，5，6，7，…时，正方形的面积S 分别是多少？3．某城市居民用的天然气，1 m 3收费2.88元，使用x (m 3)天然气应缴纳费用y ＝2.88x ，当x ＝10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化)，变化的量叫做变量；有些量的值始终不变(例如正方形的面积……)．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个．教师根据学生的回答，在黑板上板书：时间——气温正方形边长——正方形面积天然气费用——天然气体积学生们会得出⎩⎪⎨⎪⎧都有两个变量x ，y 都是变量y 随着x 的变化而变化当x 取一个确定值的时候，y 只有一个 值与之对应师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念．在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 总有唯一的值与它对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．三、运用新知，深化理解例1 分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .【方法总结】常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．例2 下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数【分析】A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x 3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C ，D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.【方法总结】判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．例3 水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？【分析】(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．四、课堂练习，巩固提高1．教材P112练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值六、布置作业1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．2．教材P116习题4.1第1，2，6，7题．4．1.2函数的表示法1．了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．2．进一步理解函数值的概念．3．会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．重点认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法．难点函数表示方法的应用．一、创设情境，导入新课问题 1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题：(1))(2)能用t的代数式来表示m的值吗？(能，m＝16t)教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离(米)与助跑的速度(米/秒)有关．根据经验，跳远的距离s＝0.085v2(0<v<10.5)回答下列问题：(1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？(常量0.085，变量v，s)；(2)计算当v 分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果精确到0.01)？(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗？教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．二、合作交流，探究新知函数的表示法：①解析式法：问题1，2中，m＝16t和S＝0.085v2这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析式法．②列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．(如教材P110页“动脑筋”问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系)③图象法：我们还可以用图象法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系．解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．教师指出：(1)解析式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．(2)函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．若函数用解析式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值．例如函数m＝16t，当t＝5时，把它代入函数解析式，得m＝16×5＝80(元)．m＝80叫作当自变量t＝5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来的，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如正方形面积与边长的函数关系中，当x＝2时，函数值S＝4；当x＝6时，函数值S＝36.若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如当x＝50时，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是当函数值x＝50时的函数值，即W＝399(焦)．三、运用新知，深化理解例1 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式；(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？【分析】(1)根据挂重物每克弹簧伸长0.5厘米，可知要伸长5厘米需挂重物质量；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据题意求出函数值，可得所挂重物质量．解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；(2)函数的表达式为h＝10＋0.5x(0≤x≤50)；(3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30.答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．【方法总结】列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．例2 如图所示，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是( )A. B.C.D.【分析】∵y表示未修建的公路里程，x表示时间，∴y由大变小，∴选项A、D错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大．∴选项C错误，选项B正确．故选B.【方法总结】在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线．变化的趋势是快还是慢，可用与x轴的夹角表示出来．例3 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出，2－1.5＝0.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120÷3＝40(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，4.5－3＝1.5(小时)，汽车返回家用了 1.5小时，由此算出平均速度是120÷1.5＝80(km/h)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．【方法总结】图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．例4 一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1 km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？【分析】(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值．解：(1)y＝－0.6x＋48；(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．【方法总结】解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．四、课堂练习，巩固提高1．教材P115练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1.我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法．并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化．其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：图象特征函数变化规律由左至右曲线呈上升状态．y随x的增大而增大．由左至右曲线呈下降状态．y随x的增大而减小．曲线上的最高点是(a，b)．x＝a时，y有最大值b.曲线上的最低点是(a，b)．x＝a时，y有最小值b.2．能够分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．六、布置作业1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．2．教材P116习题4.1第3～5题．。