浅谈切比雪夫多项式数学与应用数学（师范）2008级石晓萌 0807402049指导老师刘长剑摘要本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系，并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用．关键词：切比雪夫多项式三角函数复数正交性最小偏差插值Discussion on the chebyshev polynomialsMathematics and Applied Mathematics (normal school)ShiXiaomeng 0807402049Supervisor Liu ChangjianAbstractThis paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of he chebyshev polynomial in dealing with practical problems.Key word: chebyshev polynomial trigonometric function Plural orthogonality minimum deviation interpolation目录1问题的来源及起源 (1)1.1前言 (4)1.2切比雪夫多项式的来源 (4)2切比雪夫多项式的概念及性质 (8)2.1第一类切比雪夫多项式及性质 (8)2.2第二类切比雪夫多项式及性质 (10)3两类切比雪夫多项式的关系 (11)4切比雪夫多项式的应用 (13)4.1切比雪夫多项式插值 (13)4.2幂级数项数的节约 (14)结束语 (15)参考文献 (16)1问题的来源及起源1.1前言以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff ，又译契贝雪夫等，182l 一1894)的名字命名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式()n T x 和()n U x (简称切比雪夫多项式)，源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用[2]．在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未有过多的了解．详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一件不可多得的再次学习机会，因此着手写这篇论文．本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方面导出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用．1.2切比雪夫多项式的源来我们用以下几种方法来求得切比雪夫多项式．方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)显然，n =1时猜想成立;由公式(1—4)知，n ≤5时 猜想成立(m >n /2时,20n m =)．假定n ≤k(k N +∈且k>2)时猜想成立，下证1n k =+时猜想也成立．cos(1)cos cos sin sin k k k ααααα+=-[]sin sin sin(1)sin cos(1)sin sin k k k ααααααα=-+-2sin(1)sin cos cos(1)sin k k ααααα=-+-[]2cos(1)cos cos cos cos(1)(1cos )k k k αααααα=--+--cos cos cos(1)k k ααα=-+-．故 cos(1)2cos cos cos(1)k k k αααα+=--． 因此 2cos(1)2cos 2cos 2cos(1)k k k αααα+=⨯--2,0(1)(2cos )2cos m k m k m m ααα-==-⨯∑121,0(1)(2cos )m k m k m m αα---=--∑12,0(1)(2cos )m k m k m m αα+-==-∑121,11(1)(2cos )m k m k m m αα+---=+-∑1,01(2cos )(1)k m k m αα+==+-∑12,1,1()(2cos )k m k m k m ααα+---⨯+．记1,,1,k m k m k m ααα+-=+，那么121,02cos(1)(1)(2cos )m k m k m m k ααα+-+=+=-∑．即当1n k =+时猜想也成立．从而对任意正整数n ，猜想成立．以上不仅证明了(5)式对任意正整数n 成立，而且得到了(5)式中系数,n m α的递推公式：1,02,02,11,1,2ααα===， 1,0,0n n αα+= (2n ≥)， (6)1,,1,1n m n m n m ααα+--=+ (2,1/2n m n ≥≤≤)．(7)由此易得1,11,m 0;,1m /2;0,m n/2.m n mn m n C n m α---=⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪⎩当当当 上式可由数学归纳法证明．从而(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent nmm n m n m m n n C mααα----==+-∑，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arc cos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arc cos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为[][][]24124cos(arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos )nn n n n n n x x x x αα-----=-++…124242n n n n n n x x x αα-----=-++…．于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-， 535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．这是第一类切比雪夫多项式，第二类切比雪夫多项式可由n 倍角余弦公式得到[4]． 方法二：用复数的方法[4]．cos sin i e i ααα=+， cos sin i e i ααα-=-，两边相加可以得cos α的复数表示cos 2i i e e ααα-+=，进一步以n α代替α得()()1cos 22in in nn i i e e n e e ααααα--+⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦， 也就是()()1cos cos sin cos sin 2n nn i i ααααα⎡⎤=++-⎣⎦．若考虑cos x α=，sin α=， 于是((1()cos(arccos )2nnn P x n x x α⎡⎤==++-⎢⎥⎣⎦，此时[]1,1x ∈-．而对1x ≥时，上式也有意义．=((1()2n nn P x x x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦．我们又得到()n P x 的表达式()cos(arccos )n P x n α==((12n nx x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．2切比雪夫多项式的概念及性质方程[1]()222210d y dy x x n y dx dx --+=（n 为正整数）称为切比雪夫方程．如今令cos x θ=，则方程可变形为2220d y n y d θ+=， 于是求得通解为12cos(arccos )sin(arccos )y C n x C n x =+．2.1第一类切比雪夫多项式的定义及性质[1][2]定义1 第一类切比雪夫多项式序列{}()n T x 定义为：()cos(arccos )n T x n x =，其中n N ∈ (自然数集)，x ∈R(实数集)，且1x ≤．该定义也拓广为：220()(1)(1)2k n k k n k n T x x x k -≥⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑，其中2n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭表示组合数!(2)(2)!(2)!n n k k n k ≥-或0()n m <, ,n m N ∈；x C ∈(复数集)． ()n T x 称为第n 个第一类切比雪夫多项式，前７个第一类切比雪夫多项式为：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-，535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为21(),,112nn n xtT x tt R t xt t≥-=∈≤-+∑． （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系21()2()()n n n T x xT x T x ++=-，,x C n N ∈∈．（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）7. 1()22n nn y y y y T --++=，其中,0,y C y n N ∈≠∈． （分析：cos 2i i e e ααα-+=，()()1cos 22in in nn i i e e n e e ααααα--+⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦） 8. ()n T x 的正交性()11,(0),/2(0.0)n m n m n m ππ-≠⎧⎪===⎨⎪=≠⎩⎰ 所以()cos(arccos )n T x n x =，0,1,2...n =，在区间[]1,1-上带权()1221x--正交．（如果两个函数()1r ψ和()2r ψ满足条件：()()120r r dr ψψ=⎰，则称这两个函数相互正交．函数的正交是向量正交的推广，函数可看成无穷维向量,在ｎ维空间中两向量正交是借助内积来定义的．在物理学上，信息的传输经常需要进行单边调制和双边调制，然后得到频谱，这里需要用到三角函数的正交性。