Du ∂p = ρf x − + f visc ρ i ,x Dt ∂x DV ρ = ρf − ∇p + f visc Dt
动量方程

典型情况

无粘流动-Euler方程 无彻体力作用 定常流动 不可压流动
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量

如何测量低速气流在翼型上的阻力？ 控制体的选取
满足连续性假设的所有流动
连续方程

定常流动
∇ • ( ρV ) = 0

S
ρV • d S = 0

不可压流动
∇ •V = 0
V • dS = 0
S
物质导数
(见1.6.4节)

多元函数的微分学
m = m( r , t ), ) r = r (t )

物质导数
2
N-S方程的解算

理论解法

非线性问题 精确解的限制 初边值条件的适定性 物理模型 (粘性、热力学模型、 (粘性 热力学模型 …) ) 优缺点的比较
N-S方程的解算

计算流体力学 (CFD)

J.D. Anderson, “Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications”, McGraw-Hill, 1995
V S V


当所有外力做功为零且无热传递作用时，右端项恒为 当所有外力做功为零且无热传递作用时 右端项恒为 零；这表示控制体内流体包含总能量的时间变化率与 经过控制体表面流失的能流通量抵消。也即处在总能 量守恒的 态 量守恒的状态 进一步地，当流动又是定常流时，控制体表面流失的 能流净通量为零
能量方程

积分形式的动量方程 ∂ ( ρdV )V + ( ρV • dS )V S ∂t V = ρfdV + − pdS + Fvisc
V S

微分形式的动量方程 ∂ ρV + ∇ • ρVV = ρf − ∇p + f visc ∂t
能量方程

能量守恒律

能量既不能创造也不能毁灭，只能传递 微观粒子的平动动能 转动与振动动能 绕原子核或分子的电子能 内能 宏观的平动动能

静 流体能量（内能）的构成 静止流体能量（内能）的构成


运动流体能量的构成


热力学第一定律

对于封闭气体系统,内能的变化为

δq + δw = de • • 单位时间传递的热量 ρ q dV + Q visc V 单位时间对流体做的功
+ ∇ • ( ρV ) = 0

∂t Dρ + ρ∇ • V = 0 Dt
动量方程

Navier-Stokes的贡献
Claude-Louis Navier (1785 –1836)
Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet FRS (1819–1903)
D ρ Dt
•
V 2 e + 2
•
• = ρ q + Q'visc − ∇ • ( pV ) + ρf • V + W 'visc
N-S方程的封闭

完全气体假设
e = cvT
p = ρRT

列出至少五种可以应用能量方程的流动 问题
更一般的形式——演化方程
流体力学
第二章 张震宇 南京航空航天大学 航空宇航学院
Sept 2010
守恒律

质量守恒律

连续方程 动量方程 能量方程
Antoine Lavoisier (1743-1794)
பைடு நூலகம்
动量守恒律与动量定理


能量守恒律

René Descartes (1596-1650)
James Prescott Joule (1818-1889)
能量方程

积分形式的能量方程
V2 V2 ∂ ρ e+ dV + ( ρV • dS ) e+ V S ∂t 2 2 • • • = ρ q dV + Q visc + (− pdS ) • V + ( ρfdV ) • V + W visc

微分形式的能量方程

简化

V 2 ∂ V 2 e+ e+ ρ + ∇ • ρV ∂t 2 2 • • • = ρ q + Q'visc − ∇ • ( pV ) + ρf • V + W 'visc
− R = − pdS + Fvisc def = a −i ( ρV • dS )V
阻力则变成风轴系下的 力则变成风轴系下 分量形式 Rx = − a −i ( ρV • dS )u
b−c g −h
b−c g −h
型表面对控制体内流体的反作用力为
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量

旋度

ξ = ∇ ×V
ξz =
∂v ∂u − ∂x ∂y
Pgm2.mpg
h −i

c −d
+ +
f −g
d −e
e− f
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量

正压力项


S
− pdS = + +
在远场边界为常数
abcghia
远场 重合边界 物面
cd d + fg f def
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量

假设周围流体对翼型的合力为 R ，则翼
( )
(
)

沿x方向
∂ (ρu ) ∂p + ∇ • (ρuV ) = ρf x − + f visc, x ∂t ∂x
物质导数形式的动量方程
∂ (ρV ) + ∇ • (ρVV ) = ρf − ∇p + f visc ∂t 沿X方向 ∂ (ρu ) ∂p + ∇ • (ρuV ) = ρf x − + f visc, x ∂t ∂x
动量方程

牛顿第二定律 作用于固定控制体上的力

彻体力 正压力 粘性力 彻体力、正压力、粘性力
ρfdV
− pdS
dFvisc


通过面S流出控制体的动量净通量 S ( ρV • dS )V 控制体内部流体动量的时间变化率
∂ ( ρdV )V ∂t V
动量方程
∂xi = Vi ∂t ∂m Dm ∂m = + Vi Dt ∂t ∂xi
Dm ∂m ∂xi ∂m = + Dt ∂t ∂t ∂xi
D ∂ = +V • ∇ Dt ∂t
一个例子
物质导数形式的连续方程

质量通量项的散度 连续方程 ∂ρ
∇ • (ρV ) = ∇ρ • V + ρ∇ • V
N-S方程的解算——（CFD）

更美丽的世界——可视化的流场
流线、迹线、染色线

流线

流线上任意一点的切线与当地速度方向平行
dx dy dz = = u v w
dl × V = 0

流管

由经过不是流线的封闭曲线的所有流线构成 定常流动中经过流管任一截面的质量流量守恒
流线、迹线、染色线
连续方程

质量守恒的观点 控制体的选取 质量流量与质量通量 ρV • A ρV • n 定常管流的例子 ρV • A = const t

连续方程

空间位置相对固定的控制体
通过控制体表面S流出的净质量等于 控制体V内质量的时间变化率
∂ S ρV • dS = − ∂t V ρdV

最终的阻力表达形式
a −i g −h
Rx = −
a −i
( ρV • dS )u − b−c ( ρV • dS )u
b−h
= − (− ρ1u1dy1 )u1 −
利用连续方程
(ρ u dy )u
2 2 2
2
ρ1u1dy1 = ρ 2u2dy2
Rx =
b−h
ρ u (u
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量

S ρV • dS = 0 ρV • dS + ρV • dS = 0
a −i b−h
定常流动的连续方程
− ρ1u1dy1 +
a −i
b−h
ρ u dy
2 2
2
=0
ρ1u1dy1 = ρ 2u2dy2
这里的进口一般为直匀流，因此 边界１上的各个物理量可假设为常数

S
• (− pd dS ) • V + ( ρfdV ) • V + W visc
V
能量方程

单位质量的总能
V2 e+ 2

能量的变化率
V2 ∂ V2 e+ dV ρ S ( ρV • dS ) e + 2 + ∂t V 2
典型应用 —低速流动中的翼型阻力测量