= |P P | 1 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
2
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ．
这就是平面上任意两点 P1 ， P2 间的距离公式 , 简称 为两点间距离公式. 特别地,点 P x, 源自 到坐标原点O 的距离为．
如图所示．大海中有两个小岛，一个在灯塔 东60 海里偏北80 海里的P1点处，另一个在灯塔 西10海里偏北55海里的P2点处 ．
P2
P1
如何确定这两岛之间的距离呢？
灯塔
新授 如图所示，设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) .则
PP = 1 2
( x2 x1 , y2 y1 )
2
将向量 p1 p2的模叫做点p1、p2之间的距离，记作 p1 p2
| OP | x 2 y 2
平面上两点间的距离公式
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
例1.已知 M(8，10),N(12，22) ,求 线段MN的长度 ．
解： 根据平面内两点间的距离公式，得
| MN | (12 8) 2 (22 10) 2
= 42 +122
O
灯塔
x
y （ P 1 60,80） （-10,55） P2
2 2 | PP | (10 60) (55 80) 1 2
4900 625
5525
74.33（海里）
O
灯塔
x
直角坐标系中两点间的距离公式．
设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ，则
| P1P2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ．
=4 10
平面上两点间的距离公式
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
例2.已知 ΔABC的顶点分别为A(2，6),B(-4，3) ,C(1,0), 求ΔABC三条边的长 . 解：根据平面内两点间的距离公式,得
|AB | | BC |
| AC |
(4 2) 2 (3 6) 2
2 2
45 3 5
(1 4) 2 (0 3) 2 (1 2) 2 (0 6) 2
34
37
大海中有两个小岛,一个在灯塔东60海里偏北80 海里P1处,另一个在灯塔西10海里偏北55海里P2 点处,以灯塔为坐标原点建立直角坐标系,求这两 岛之间的距离.
y （ P 1 60,80） （-10,55） P2
8.1.1 两点间距离公式
y


向量
a ( x, y )的求模公式：
P(x,y)
a
| a | x y
2

2
o
x
在直角坐标系中已知两点M ( x1，y1 )、N ( x2，y2 )
则向量MN坐标是
y
MN ( x2 x1, y2 y1 )
N
M
o
x
引入