习题11.1 求题图1-2其数学表达式为题图1-2 双边指数函数解：x t ()是一个非周期信号，它的傅里叶变换即为其频谱密度函数，按定义式求解：22)π2j (0)π2j (0π2j 0π2j π2j )π2(2π2j 1π2j 1d d d d d )()(f a af a f a te t e te e t e e t e t xf X t f a t f a t f t a t f t a t f +=++-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰∞++-∞--+∞--∞--+∞∞--1.2 求题图1-1周期三角波的傅里叶级数 (三角函数形式和复指数形式),并画出频谱图。

周期三角波的数学表达式为⎪⎪⎨⎧<≤-<≤-+=02022)(T t tA A t Tt T A A t x题图1.2 周期性三角波解：将)(t x 展开成三角函数形式的傅里叶级数，求其频谱。

计算傅里叶系数：∵ )(t x 是偶函数⎩⎨⎧>≥=-)0(00)(a t t e e t x at at <∴ 0=n b221d )(12/2/0ATA T t t x T a T T =⋅==⎰- ⎰⎰⎰⎰-=-=-==-2/0022/002/002/2/0d cos 8d cos )2(4d cos )2(4d cos )(2T T T T T n tt n t T A tt n t T A T t t n t T A A T t t n t x T a ωωωωtn n t n n tn t 0202000cos 1sin 11cos ωωωωω-于是，有 2/00202002)cos 1sin (8T n t n n t n n t T A a ωωωω+-= ⎪⎩⎪⎨⎧===...6,4,2...5,3,10π422n n n A由此得)(t x 的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为t n nA A t x n 0,3,122cos 1π42)(ω∑∞=+=Λ若取 )sin()(010n n nt n Aa t x ϕω++=∑∞=n 次谐波分量的幅值 2222π4n Ab a A n n n =+=n 次谐波分量的相位 2πarctan ==n n n b a ϕ画出)(t x 的频谱如题图1.2(b)所示。

将)(t x 展开成复数形式的傅里叶级数，求其频谱。

计算傅里叶系数2d )(1220A t t x T c T T ==⎰-⎰⎰⎰----=-==220220022j d cos )(1d )sin )(cos (1d )(10T T T T T T tn n t t n t x T tt n j t n t x T t e t x T c ωωωω⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±==...6,4,2...5,3,10π222n n n A0 0 0 0 0 0ϕ题图1.2(b)由此得)(t x 的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为tn n e nA A t x 0j ,...5,3,1221π22)(ω∑±±±=+=n 次谐波分量的幅值22π2n Ac c n n =-= n 次谐波分量的相位00πarctan πarctan <>n n a b a b n n n n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=ϕ画出x t ()的频谱如题图1.2(c)所示。

1-3 求正弦信号)sin()(ϕ+=t a A t x 的绝对均值x μ，均方根值)(rms t x 及概率密度函数p (x )。

解π2cos πd sin 2d )sin(1d )(12/02/02/2/2/2/A at A t at T A t at A T t t x T T T T T T T x=-==+==⎰⎰⎰--ϕμ2d 22cos 1d sin 1220222A t at TA t at A T TT x=-==⎰⎰ψ A t x x22)(2rms ===ψ-90-70-50-30-0 0 30 50 70 90题图1.2(c)取 t a A t x sin )(= 有 t at Aa x d cos d =atA at Aa T x T t x p 2sin 1π1cos 12d d 2)(-===22π1xA -=1.4 求被矩形窗函数截断的余弦函数t 0cos ω(题图1.4)的频谱，并作频谱图。

⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t t x 0cos )(0ω解⎰⎰=⋅=--TTTtt t t t et X 00j 0d cos cos 2d cos )(ωωωωωt t t Td ])cos()[cos(000ωωωω-++=⎰000])sin[(])sin[(ωωωωωωωω--+++=T T])c[(sin ])c[(sin 00T T T T ωωωω-++=题图1.4或者，t e t X TTt d cos )(j 0⎰--⋅=ωωωt e e T T t t d )(21)j()j(00⎰---+-+=ωωωω ])c[(sin ])c[(sin 00T T T T ωωωω++-=1.5 单边指数函数)0,0()(≥=-t Aet x t>αα与余弦振荡信号t t y 0cos )(ω=的乘积为 z (t )=x (t ) y (t ), 在信号调制中, x (t ) 叫调制信号, y (t ) 叫载波, z (t ) 便是调幅信号 。

若把 z (t ) 再与 y (t ) 相乘得解调信号 w (t )= x (t ) y (t ) z (t )。

求调幅信号 z (t ) 的傅里叶变换并画出调幅信号及其频谱。

求解调信号 w (t ) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。

解：首先求单边指数函数)0,0()(≥>=-t a Aet x at的傅里叶变换及频谱⎰⎰+∞--+∞∞--==0π2j π2j d d )()(t e e A t e t x f X t f t a t f+∞+-∞++-+-==⎰)π2j (0)π2j (π2j tf a t f a e fa Adt e A22)π2(π2j π2j f a f a A f a A+-=+=22)π2()(f a Af X +=余弦振荡信号t f t y 0π2cos )(=的频谱)]()([21)(00f f f f f Y -++=δδ利用δ函数的卷积特性,可求出调幅信号)()()(t y t x t z ⋅= 的频谱)]()([21)()()()(00f f f f f X f Y f X f Z -++*=*=δδ))](π2[1)](π2[1(2202202f f a f f a A -++++=xfb’题图1.5 a 调幅信号及其频谱求解调信号 w (t ) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。

利用δ数的卷积特性, 求出调幅信号)()()()(t y t y t x t w ⋅⋅= 的频谱, 见题图1,5b 。

))π2(2)]2(π2[1)]2(π2[1(4)]()([21)()()()(2220220200f a f f a f f a A f f f f f Z f Y f Z f W ++-++++=-++*=*=δδ0000题图1.5 b 解调信号频谱若f 0足够大，从解调信号频谱图中区间（-f 0，f 0）的图像可恢复原信号的波形，图略。

1-5 求三角窗函数的频谱，并作频谱图。

题图1-5解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=20,202,2)(T t t T A A t T t T A A t x t t t t x t et x X td )sin j )(cos (d )()(j ⎰⎰∞∞-∞∞---==ωωωω⎰⎰-=-=2/02/0d cos 4d cos )2(2T T t t t T A t t t T A A ωωtt tt ωωωωωcos 1sin 11cos 2-于是，有)12(cos 4)cos 1sin (4)(222/022--=+-=T T A t t t T A X T ωωωωωωω)4(c sin 2)4()4(sin 2222T AT TTAT ωωω== 或 )2π(c sin 2)(2fTAT f X =1-7 求用单位脉冲序列g (t )对单边指数衰减函数y (t )采样(题图1-7)的频谱，并作频谱图。

题图1.7⎩⎨⎧≥><>=-=-∞-∞=∑0,00,00)()()(0t a et a t y nT t t g atn δ解：)(1)(0∑∞-∞=-=n T n f T f G δ 22)π2(1)(af f Y +=∑∞-∞=+-=*=n S aT n f T f G f Y f Y 2202)/(π411)()()(。