∴ CFQ 90 ，
G
C
F
H
∵ CF 2CD 8 ， ∴ FQ CQ2 CF 2 6 ，
A
OD B
E
∴ tan CQF CF 4 ， QF 3
而 GCF CQF （弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角），
Q 图2
∴ tan GCF 4 ， 3
∵四边形 ABCF 内接于⊙O， ∴ GFC ABC （圆内接四边形的外角等于它的内角的对角），
A
Mx B
O
D N' x C'
M' NC
B'
解：如图 1，设⊙O 的半径为 r， 则 OH 8 r ，∴ ON '2 OH 2 N ' H 2 (8 r)2 42 ，而 r ON ' ，
∴ r2 (8 r)2 42 ，解得： r 5 ，即 r 的最大值为 5，
GP GB 设 GF x ，（其中 x 0 ）
∵ BG AB 2 3 , PF 1,
C
G
R
D P
MS F
A
E
B
图2
∴ (2 3)2 x(x 1) ，解得： x1 3 ， x2 4 （负值不合题意，应舍去），
∴ x 3，即 GF 3 ， ∵△ACE≌△CBD，△CRB≌△CSG， ∴ ACE CBD ， CBD CGF ， ∴ ACE CGF ，又 AC AG ， A GCF 60 ， ∴△ACE≌△CGF（ASA）， ∴ CE GF ，又 GF 3 ， ∴ CE 3 .
y
AB D
x OC
4
2018 中考数学
（2018 武侯区九年级二诊第 25 题）如图，有一块矩形木板 ABCD， AB 13 dm ， BC 8 dm ，工人师傅在 该木板上锯下一块宽为 x dm 的矩形木板 MBCN，并将其拼接在剩下的矩形木板 AMND 的正下方，其中 M ' ， B ' ， C ' ， N ' 分别与 M，B，C，N 对应. 现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则 x 的取值范 围是______，且最大圆的面积是______ dm2 .
2 ∴ AD 8 ， DB 2 ，即⊙O 的直径为 10， ∴ OB 5 ，
∴ CB CD2 DB2 2 5 ，
又∵ CF 2CD 8 ，且 GF CF ， CB OB
∴ GF 8 ， 25 5
∴ GF 16 5 . 5
G
C R F
A
OD
B
E
图2
G
C R F
A
OD B
E
图2
3
2018 中考数学
（2018 武侯区九年级二诊第 24 题）如图，在平面直角坐标系中，□ABOC 的边 OB 在 x 轴上，过点 C(3, 4) 的双曲线与 AB 交于点 D，且 AC 2AD ，则点 D 的坐标为______.
y
C
A
D
x
O
B
对于反比例函数的题目，通常都可以采用设出点的坐标，然后计算求解，比如这道题，如图 1，延长 AC 交 y 轴于点 F，过点 A 作 y 轴的平行线，过点 D 作 x 轴的平行线，两直线交于点 E，有△DEA∽△CFO， ∵ CF 3 ， OF 4 ，∴ DE : AE : AD CF : OF : OC 3: 4 : 5 ， 设 DE 3a ，则 AE 4a ， AD 5a ，∴ AC 2AD 10a ，∴ D(3 7a, 4 4a) ，
要使这个圆最大，结合图形知，x 需要满足的条件为：

AM AD
2r N 'C

2r
，即
13 x 10 8 x 10
，解得：
2

x

3
，
∴x 的取值范围是 2 x 3 ，且最大圆的面积是 25 dm2 .
A
Mx B
O
D N' x
H
C' 图1
M' NC
B'
ⅱ）∵四边形 ABCF 内接于⊙O， ∴ GFC ABC （圆内接四边形的外角等于它的内角的对角）， 又 GCF COB ， ∴△GCF∽△COB， ∴ GF CF ，
CB OB 连接 AC， ∵ tan BCE 1 ，
2 ∴ tan BAC tan BCD tan BCE 1 ，而 CD 4 ，
∴ OH OQ HQ 7 ，而反比例函数的解析式为： y 12 ， ∴ D(7, 12) .
x
7
【练习】如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 C 在 x 轴上，反比例函数 y k（ x 0 ）的图象经过点 A(5, 12) ， x
且与边 BC 交于点 D，若 AB BD ，则点 D 的坐标为______.
2018 中考数学
2018 成都市武侯区九年级二诊数学核心题详解（20,24,25,27,28） （2018 武侯区九年级二诊第 20 题）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙上一点，连接 CB，过 C 作 CD AB 于 点 D，过 C 作 BCE ，使 BCE BCD ，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E.
（2018 武侯区九年级二诊第 27 题）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 AC，AB 上，且 CD AE ， BD 与 CE 相交于点 P.
（1）求证：△ACE≌△CBD； （2）如图 2，将△CPD 沿直线 CP 翻折得到对应的△CPM，过 C 作 CG∥AB，交射线 PM 于点 G，PG 与 BC 相交于点 F，连接 BG. ⅰ）试判断四边形 ABGC 的形状，并说明理由；
的方法，如图 2，设直线 CD 交 y 轴于点 P，交 x 轴于点 Q，有 PC DQ ，过点 D 作 DH x 轴于点 H，
有：△PFC≌△DHQ，∴ HQ FC 3 ，
∵四边形 ABOC 是平行四边形，∴△OCQ∽△ADC，∴ OQ AC 2 ，∴ OQ 2OC 10 ， OC AD
图2
C
A
O DB
E
图1
1
2018 中考数学
（2）ⅰ） CF 2CD ，理由如下： 如图，延长 CD 交⊙O 于点 P，连接 PB，PF， ∵AB 是⊙O 的直径，且 AB PC ，
∴ CD DP ， AC AP ，
G
C F
∴ CP 2CD ， ABC ABP ， ∴ CBP 2ABC ，而 FCE 2ABC ，
（1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）如图 2，点 F 在⊙O 上，且满足 FCE 2ABC ，连接 AF 并延长交 EC 的延长线于点 G.
ⅰ）试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系； ⅱ）若 CD 4 ， tan BCE 1 ，求线段 FG 的长.
2
G
C
A
O DB
E
A
OD B
E
∴ CBP FCE ， ∵ CBP CFP 180 （圆的内接四边形对角互补）， FCE GCF 180 ， ∴ CFP GCF ，
P 图2
∵CE 是⊙O 的切线，
∴ GCF CPF （弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角），
∴ CFP CPF ，
ⅱ）若四边形 ABGC 的面积为 6 3 ， PF 1，求 CE 的长.
C
C
G
D P
D
F
PM
A
E
B
图1
A
E
B
图2
（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴ AC BC ， A ACB 60 ，又 CD AE ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）；
5
2018 中考数学
（2）ⅰ）四边形 ABGC 是菱形，理由如下： 由△ACE≌△CBD，得： AEC BDC ， 而 AEC ACE 180 A 120 ， ∴ BDC ACE 120 ， ∴ CPD 60 ， 如图，过点 C 作 CR BD 于点 R，作 CS PG 于 S， ∵ CPD CPM ， CR BD ， CS PG ， ∴ CR CS ， ∵ CPD 60 ， ∴ RPS 2 60 120 ， ∴ RCS 360 CRP RPS PSC 60 ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴ AB BC AC ， ACB ABC 60 ， ∵CG∥AB， ∴ BCG ABC 60 ， ∴ BCG RCS ， ∴ BCG SCB RCS SCB ， 即 BCR GCS ，又 CR CS ， CRB CSG 90 ， ∴△CRB≌△CSG（ASA）， ∴ CG CB ， ∵ AB BC ，CG∥AB， ∴CG AB， ∴四边形 ABGC 是平行四边形，又 AB AC ， ∴四边形 ABGC 是菱形；
C
F
A
O DB
E
图1
（1）证明：如图，连接 AC，OC， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴ ACB 90 ，又 CD AB ， ∴ CAB ABC 90 ， BCD ABC 90 ， ∴ CAB BCD ， ∵ OA OC ， ∴ CAB ACO ，而 BCE BCD ， ∴ ACO BCE ， ∴ BCE OCB ACO OCB 90 ， ∴ OCE 90 ，即 OC CE ， ∵OC 是⊙O 的半径，且 OC CE ， ∴CE 是⊙O 的切线；
∴ tan GFC tan ABC CD 2 ， DB
过点 G 作 GH FC 于点 H，有： GH tan GFC 2 ， GH tan GCF 4 ，