2019年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）1．（2分）﹣5的倒数是．2．（2分）计算：＝．3．（2分）分解因式：a3﹣4a＝．4．（2分）使分式有意义的x的取值范围是．5．（2分）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为．6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象顶点在x轴下方，则m的取值范围是．7．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为．8．（2分）如图A，D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D＝35°，则∠OAB的度数是．9．（2分）已知点A（1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+1的图象上，且y1＞y2，则实数m的取值范围是．10．（2分）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为．11．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为．二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）13．（3分）下列四个数中，是无理数的是（）A．B．C．D．（）2 14．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．15．（3分）有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（）A．60°B．55°C．50°D．45°16．（3分）如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（）A．B．C．D．617．（3分）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．6三、简答题（本大题共11小题，共81分）18．（8分）（1）计算（2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）219．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组：20．（6分）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了396元钱购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？21．（6分）九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是．（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．22．（5分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜6020.0460≤x＜7060.1270≤x＜809b80≤x＜90a0.3690≤x≤100150.30请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人？23．（6分）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠ABD＝30°，BE＝3，求弧CD的长．24．（6分）如图，小山坡上有一根垂直于地面的电线杆CD，小明从地面上的A处测得电线杆顶端C点的仰角是45°，后他正对电线杆向前走6米到达B处，测得电线杆顶端C点和电线杆底端D点的仰角分别是60°和30°．求电线杆CD的高度（结果保留根号）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；（2）求证：＝；（3）若AD∥BC，求点B的坐标．26．（8分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．27．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．28．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．2019年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）1．（2分）﹣5的倒数是．【解答】解：因为﹣5×（）＝1，所以﹣5的倒数是．2．（2分）计算：＝1．【解答】解：原式＝3﹣2＝1．故答案为：1．3．（2分）分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）4．（2分）使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣3．【解答】解：若分式有意义，则x+3≠0，解得：x≠﹣3．故答案为x≠﹣3．5．（2分）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为2．【解答】解：∵数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的众数为3，∴3出现的次数是2次，∴x＝3，数据重新排列是：﹣3，﹣2、1、3、3、6，所以中位数是（1+3）÷2＝2．故答案为：2．6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象顶点在x轴下方，则m的取值范围是m＜1．【解答】解：因为抛物线图象顶点在x轴下方，且抛物线开口向上，则抛物线与x轴有两个交点，所以（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得m＜1．故答案为m＜1．7．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为3．【解答】解：设它的母线长为l，根据题意得×2π×1×l＝3π，解得l＝3，即它的母线长为3．故答案为3．8．（2分）如图A，D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D＝35°，则∠OAB的度数是55°．【解答】解：∵∠D＝35°，∴∠AOB＝70°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝55°，故答案为：55°．9．（2分）已知点A（1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+1的图象上，且y1＞y2，则实数m的取值范围是1＜m＜3．【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+1的对称轴为x＝2，∴A（1，y1）的对称点为（3，y1），∵A（1，y1），B（m，y2）为其图象上的两点，且y1＞y2，∴1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．10．（2分）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为10．【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为：10．11．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′＝．【解答】解：由题意可得：AD∥CD′，故△ADB′∽△D′CB′，则＝，设AD＝x，则B′C＝x，DB′＝4﹣x，AB＝CD′＝4，故＝，解得：x1＝﹣2﹣2（不合题意舍去），x2＝﹣2+2，则DB′＝6﹣2，则tan∠DAD′＝＝＝．故答案为：．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y ＝x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），取AA′的中点K（﹣2，﹣1），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．∵直线BK的解析式为y＝5x+9，由，解得，∴点P坐标为（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）13．（3分）下列四个数中，是无理数的是（）A．B．C．D．（）2【解答】解：A．＝﹣2，是有理数；B．是分数，属于有理数；C．是无理数；D．（）2＝3是有理数；故选：C．14．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从物体上面看，第一层有3个正方形，第二层的左边有1个正方形．故选：C．15．（3分）有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（）A．60°B．55°C．50°D．45°【解答】解：由折叠可得，∠CED＝90°＝∠BCE，又∵∠D＝∠B＝75°，∴∠DCE＝15°，由折叠可得，∠DCF＝2×15°＝30°，∴∠BCF＝60°，故选：A．16．（3分）如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（）A．B．C．D．6【解答】解：由图象可知，AB＝3，AC＝6如图，当x＝1时，BP⊥ACRt△ABP中，BP＝＝2，∵PC＝6﹣1＝5，∴Rt△CBP中，BC＝＝，故选：B．17．（3分）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．6【解答】解：连接OP，PC，OC，∵OP≥OC﹣PC＝2，∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP，当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP＝4，故选：B．三、简答题（本大题共11小题，共81分）18．（8分）（1）计算（2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2【解答】解：（1）原式＝+1﹣＝1；（2）原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（a2﹣2a+1）＝a2+a﹣6﹣a2+2a﹣1＝3a﹣7．19．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组：【解答】解：（1）去分母得：x＝2x﹣1+2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1为原方程的解；（2）分别解不等式，得到，所以不等式组解集为﹣1＜x≤4．20．（6分）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了396元钱购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？【解答】解：设甲种奖品买了x件，乙种奖品买了y件．根据题意得：，解得：．答：甲种奖品买了12件，乙种奖品买了18件．21．（6分）九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是．（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．【解答】解：（1）所选的学生性别为女生的概率＝＝，故答案为：；（2）画树形图得：所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．∴这2名学生来自同一个班级的概率为＝．22．（5分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜6020.0460≤x＜7060.1270≤x＜809b80≤x＜90a0.3690≤x≤100150.30请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝18，b＝0.18；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人？【解答】解：（1）抽取的总人数是2÷0.04＝50（人），a＝50×0.36＝18，b＝＝0.18；故答案是：18，0.18；（2）；（3）中位数会落80≤x＜90段，故答案是：80≤x＜90；（4）该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的人数约是：350×0.30＝105（人）．答：约有105人．23．（6分）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠ABD＝30°，BE＝3，求弧CD的长．【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠A＝∠BEC＝90°．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠EBC．∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，∴BD＝BC．在△ABD和△ECB中，∴△ABD≌△ECB；（2）∵△ABD≌△ECB，∴AD＝BE＝3．∵∠A＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝2AD＝6，∵BC∥AD，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝90°，∴∠DBC＝60°，∴弧CD的长为＝2π．24．（6分）如图，小山坡上有一根垂直于地面的电线杆CD，小明从地面上的A处测得电线杆顶端C点的仰角是45°，后他正对电线杆向前走6米到达B处，测得电线杆顶端C点和电线杆底端D点的仰角分别是60°和30°．求电线杆CD的高度（结果保留根号）【解答】解：延长CD交AB于点E．∵∠DBE＝30°，∴设DE＝x，则BE＝，∵∠CBE＝60°，∴CE＝，∵∠CBE＝45°则，解得：．∴CD＝CE﹣DE＝2．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；（2）求证：＝；（3）若AD∥BC，求点B的坐标．【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），∴k＝2×6＝12，∵B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，∴mn＝12①，BD＝m，AE＝6﹣n，∵△ABD的面积为3，∴BD•AE＝3，∴m（6﹣n）＝3②，联立①②得，m＝3，n＝4，∴B（3，4）；设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+10（2）∵A（2，6），B（m，n），∴BE＝m﹣2，CE＝n，DE＝2，AE＝6﹣n，∴DE•AE＝2（6﹣n）＝12﹣2n，BE•CE＝n（m﹣2）＝mn﹣2n＝12﹣2n，∴DE•AE＝BE•CE，∴（3）由（2）知，，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴△DEC∽△BEA，∴∠CDE＝∠ABE∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ADCB是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ADCB是菱形，∴DE＝BE，CE＝AE．∴B（4，3）．26．（8分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．27．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin．设AP的长为x．（1）AB＝4；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．【解答】解：（1）作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠ABC＝90°，∴sin∠BAC＝＝，∴AC＝5，∴AB＝＝＝4．在Rt△APM中，P A＝1，PM＝，AM＝，∴BM＝AB﹣AM＝，∵MN＝AD＝3，∴PN＝MN﹣PM＝，∵∠PMB＝∠PNE＝∠BPE＝90°，∴∠BPM+∠EPN＝90°，∠EPN+∠PEN＝90°，∴∠BPM＝∠PEN，∴△BMP∽△PNE，∴＝＝＝，故答案为4，；（2）①结论：的值为定值．理由如下：当点E在点C左侧时，如图1所示：由P A＝x，可得PM＝x．∴AM＝x，BM＝4﹣x，PN＝3﹣x，∵△BMP∽△PNE，∴＝＝＝．当点E在点C右侧时，如图2所示：同理得出＝．综上所述：的值为定值．②在Rt△PBM中，PB2＝BM2+PM2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，∵∴＝．∴PE＝PB，∴S＝•PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，∵0＜x＜5，∴x＝时，S有最小值＝．28．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．【解答】解：（1）∵A（4，0）在抛物线上，∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣；（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，令x＝0可得y＝2，∴OB＝2，∵OP＝m，∴AP＝4﹣m，∵PM⊥x轴，∴△OAB∽△P AN，∴＝，即＝，∴PN＝（4﹣m），∵M在抛物线上，∴PM＝﹣m2+m+2，∵PN：MN＝1：3，∴PN：PM＝1：4，∴﹣m2+m+2＝4×（4﹣m），解得m＝3或m＝4（舍去）；（3）在y轴上取一点Q，使＝，如图，由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，∴＝＝，且∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴＝，∴当Q（0，）时QP2＝BP2，∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，∵A（4，0），Q（0，），∴AQ＝＝，即AP2+BP2的最小值为．。