⑩在相同条件下被测量在重复观测中的变化 13．什么是测量的数学模型?建立数学模型时要注意什么? 答： 测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、 引用的量以及影响量等有 关量之间的数学函数关系。 建立数学模型时应注意问题： (1)数学模型可以用已知的物理公式得到，也可以用实验方法确定，甚至只用数 值方程给出。 (2)数学模型不是惟一的，对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量 程序，就会有不同的数学模型。 (3)数学模型不一定是完善的，它与人们对规律的认识程度有关。为了能在数学 模型中充分反映实际的影响量，尽可能采用长期积累的数据建立经验模型。 (4)有时被测量 Y 的输入量 X1，X2，„,XN 本身又取决于其他量，他们各自与其他 量间有 函数关系， 还可能包含对系统影响修正的修正值或修正因子， 导致十分复杂的函 数关系。这时候，数学模型可能是一系列关系式。 (5)如果数据表明数学模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时，应在模型 中增加输入量，直至测量结果满足测量准确度的要求。 14．标准不确定度有哪几种评定方法? 答：①标准不确定度分量的 A 类评定方法 ②标准不确定度分量的 B 类评定方法 15．如何用 A 类评定方法评定标准不确定度分量? 答：①对被测量 X 进行 n 次独立观测，得到数据列： x1 , x2 xn ②计算测量结果 x
p x 2 2 2 2 2 1 2 0.97725 1 0.9545
当 k 2 时，置信概率为 95.45% 7．有哪些常用的概率分布?它们的置信区间半宽度与置信因子分别有什么关系? 答：①均匀分布：置信区间半宽度等于 3 倍的 x 标准偏差。 ②三角分布：置信区间半宽度等于 6 倍的 x 标准偏差。 ③梯形分布：置信区间半宽度等于
sp

j 1 m j 1
m
j
s2 j
j

式中, j n j 1 。 对于常规的计量检定或校准，当无法满足n≥10时，为使得到的实验标准差 更可靠，如果有可能，建议采用合并样本标准差 s p 作为由重复性引入的标准不 确定度分量。 17．试述标准不确定度 B 类评定的步骤? 答：①确定区间半宽度 d ②假设测量值在区间内的概率分布 ③查表确定 k ④计算 B 类标准不确定度 u B u / k 18．试述 B 类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度 ? 答：利用的信息包括： ①以前的观测数据； ②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； ③生产部门提供的技术说明文件(制造厂的技术说明书)； ④校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等； ⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； ⑥规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据； ⑦其他有用信息。 确定可能值的区间半宽度 ①制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为±△， 并经计量部门检定合 格，则可能 值的区间为(一△，△)，区间的半宽度为 a △ ②校准证书提供的校准值，给出了其扩展不确定度为 U ，则区间的半宽度为 a U ③由手册查出所用的参考数据，同时给出该数据的误差不超过±△，则区间的
b a
式中， px 为概率密度函数，数学上积分代表面积。 物理意义:
概率分布曲线 概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示，如图所示。 测量值 X 落在区间 a, b 内的概率 p 可用上式计算 由此可见，概率 p 是概率分布曲线下在区间 a, b 内包含的面积，又称包含概 率或置信水平。当 p 0.9 ，表明测量值有 90%的可能性落在该区间内，该区间包 含了概率分布下总面积的 90%。 在(一∞～+∞)区间内的概率为 1，即随机变量在 整个值集的概率为 l。 当 p 1(即概率为 1)表明测量值以 100%的可能性落在该区 间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。 3．表征概率分布的特征参数是哪些? 答：期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。 4．期望和标准偏差分别表征概率分布的哪些特性? 答:期望 影响概率分布曲线的位置；标准偏差 影响概率分布曲线的形状，表 明测量值的分散性。 5．有限次测量时，期望和标准偏差的估计值分别是什么? 答： 有限次测量时， 算术平均值 X 是概率分布的期望 的估计值。 即：X＝
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一．思考题 1．什么是概率分布? 答： 概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而 变化的函数，该函数称为概率密度函数。 2．试写出测量值 X 落在区间 a, b 内的概率 p 与概率密度函数的函数关系式，并 说明其物理意义。 答： pa X b px dx
6 1＋ 2
倍的 x 标准偏差。
④反正弦分布：置信区间半宽度等于 2 倍的 x 标准偏差。 8．什么叫相关性?表示相关性的参数是什么? 答：相关性审是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。参数是
X ,Y 。
9．协方差与相关系数是什么关系?相关系数有什么特点? 答：协方差估计值 sx, y 与相关系数估计值 r x, y 的关系 r x, y
s x, y sx s y
相关系数是一个纯数字，在-1 到+1 之间，表示两个量的相关程度。相关系 数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1，表明 X 与 Y 全部相关（正强相关） ， 即随着 X 增大 Y 也增大；相关系数为-1，表明 X 与 Y 负相关（负强相关） ，即随 着 X 增大 Y 变小。 10．如何得到协方差与相关系数的估计值? 协方差估计值及相关系数估计值分别 用什么符号表示? 答： 协方差的估计值是通过有限次测量的数据得到的，i n i 1
③计算实验标准偏差 sx
x
n i 1
i
x

2
n 1
④计算 A 类标准不确定度 u X s X

sx n
16．规范化常规测量时可以如何进行 A 类标准不确定度评定? 答： 规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量， 如日常 按检定规程进行的大量同类被测件的检定， 当可以认为对每个同类被测量的实验 标准偏差相同时， 通过累积的测量数据， 计算出自由度充分大的合并样本标准偏 差，以用于评定每次测量结果的A类标准不确定度。 在规范化的常规测量中，测量m个同类被测量，得到m组数据，每组测量n次， 第j组的平 均值为xi，则合并样本标准偏差sp为
sp
x
m n j 1 i 1
ij
xj

2
mn 1
对每个量的测量结果 x j 的A类标准不确定度
uA x j sp / n
自由度为 mn 1 。 若对每个被测件的测量次数 n j 不同，即各组的自由度 j 不等，各组的实验标 准偏差为 s j ，则

1 n xi n i 1
有限次测量时，实验标准偏差 s 是标准偏差 的估计值。即：
sx
x
n i 1
i
X

2
n 1
6．正态分布时，测量值落在 k 区间内， k 2 时的概率是多少? 是如何得来 的? 答：测量值 X 落在 a, b 区间内的概率为
pa X b px dx
过有限次测量的数据得到的。协方差估计值的符号为 sx, y ，相关系数估计值的 符号为 r x, y 。 11．一般情况下评定测量不确定度有哪些步骤? 答：测量不确定度评定步骤： (1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述； (2)列出所有影响测量不确定度的影响量( 即输入量 x i )，并给出用以评定测量 不确定度的数学模型； (3)评定各输入量的标准不确定度 u xi ，并通过灵敏系数 c i 进而给出与各输入 量对应的 不确定度分量 ui y ci uxi ； (4)计算合成标准不确定度 u c y ， 计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考 虑的相关 性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项； (5)列出不确定度分量的汇总表， 表中应给出每一个不确定度分量的详细信息； (6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平 p 确 定包含因子 k p ； (7)在无法确定被测量 y 的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接 取包含因子 k 2 ； (8)由合成标准不确定度 u c y 和包含因子 k 或 k p ， 的乘积， 分别得到扩展不确 定度 U 或 U p ； (9)给出测量不确定度的最后陈述， 其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。 利用这些信息， 至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的 合成标准不确定度。 12．测量不确定度的来源可以从哪些方面考虑? 答：①被测量的定义不完整 ②复现被测量的测量方法不理想 ③取样的代表性不够 ④对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善 ⑤对模拟式仪器的读数存在人为偏移 ⑥测量仪器的计量性能的局限性 ⑦测量标准或标准物质提供的量值的不准确 ⑧引用的数据或其他参量值的不准确 ⑨测量方法和测量程序的近似和假设
半宽度为
a △
④由有关资料查得某参数 X 的最小可能值为 a 和最大可能值为 a ，区间半宽 度可以用下式确定
a
1 a a 2
⑤数字显示装置的分辨力为 1 个数字所代表的量值 x ，则取
a x 2
⑥当测量仪器或实物量具给出准确度等级时， 可以按检定规程或有关规范所规 定的该等 别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。 ⑦根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度 值。 ⑧必要时，用实验方法来估计可能的区间。 19．B 类评定时，如何假设可能值的概率分布和确定 k 值? 答：①概率分布的假设 a． 被测量受许多相互独立的随机影响量的影响， 这些影响量变化的概率分布各 不相同，但 各个变量的影响均很小时，被测量的随机变化服从正态分布。 b．如果有证书或报告给出的扩展不确定度是 U 90 ,U 95 或 U 95 ,除非另有说明，可 以按正态分布来评定 B 类标准不确定度。 c．一些情况下，只能估计被测量的可能值区间的上限和下限，测量值落在区间 外的概率几 乎为零。若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同，则可假设为均匀分布。 d．若落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。 e． 若落在该区间中心的可能性最小， 而落在该区间上限和下限处的可能性最大， 则假设为 反正弦分布。 f．对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时，一般假设为均匀分布。 实际工作中，可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。例如：无线电 计量中失配引起的不确定度为反正弦分布； 几何量计量中度盘偏心引起的测角不 确定度为反正弦分布；测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮 回差等导致的不确定度按均匀分布考虑； 两个量值之和或差的概率分布为三角分 布；按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。 在JJF 1059—1999的附录B中给出了各种情况下概率分布的估计，包括正态 分布、均匀分布、三角分布、反正弦分布、两点分布、投影分布的情况。 ② k 值的确定 a．已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，则该倍数(包含因子) 就是 k 值。 b．假设概率分布后，根据要求的置信概率查表得到置信因子 k 值。 例如：