第二章 信号的描述与分析补充题2－1-１ 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2x ψ与概率密度函数ｐ(x )。

解答:ﻩ(1)00011lim ()d sin()d 0TT x T μx t t x ωt φt TT →∞==+=⎰⎰,式中02πT ω=—正弦信号周期(2)2222220000111cos 2()lim()d sin ()d d 22TT T xT x x ωt φψx t t x ωt φt t TT T →∞-+==+==⎰⎰⎰(3)在一个周期内012ΔΔ2Δx T t t t =+=0002Δ[()Δ]limx x T T T tP x x t x x T T T →∞<≤+===ﻩΔ0Δ000[()Δ]2Δ2d ()limlim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====正弦信号x2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ与均方根值rms x 。

2－1 求图示2、3６所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

2-4周期性三角波信号如图2、37所示,求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

2-1 求图示２、36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

补充题2-１－2求周期方波(见图１-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n|–ω与φn–ω图,并与表1－1对比。

解答:在一个周期的表达式为ﻩ00 (0)2() (0)2T A t x t T A t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩积分区间取(-T/2,T/2)ﻩ00000002202002111()d =d +d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )T T jn tjn tjn t T T n c x t et Aet Ae tT T T Ajn n n ωωωππ-----=-±±±⎰⎰⎰所以复指数函数形式的傅里叶级数为 ﻩ001()(1cos )jn tjn t n n n Ax t c ejn e n∞∞=-∞=-∞==--∑∑ωωππ,=0, 1, 2, 3, n ±±±。

ﻩ(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI nR A c n n n c ⎧=--⎪±±±⎨⎪=⎩ππﻩ21,3,,(1cos )00,2,4,6,n An A c n n n n ⎧=±±±⎪==-=⎨⎪=±±±⎩πππ1,3,5,2arctan 1,3,5,200,2,4,6,nI n nR πn c πφn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪⎩没有偶次谐波。

其频谱图如下图所示。

图1-4 周期方波信号波形图2－5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。

ﻩ解:(2)22022(2)()()(2)2(2)a j f tj f tat j f te A A a jf X f x t edt Ae edt Aa j f a j f a f -+∞∞---∞-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ 22()(2)k X f a f π=+ﻩIm ()2()arctan arctan Re ()X f f f X f a==-πϕ2-６ 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0ωt t T x t t T⎧<⎪=⎨≥⎪⎩解:0()()cos(2)x t w t f t =πw (ｔ)为矩形脉冲信号 ﻩ()2sinc(2)W f T Tf =π()002201cos(2)2j f tj f t f t e e πππ-=+ 所以002211()()()22j f t j f t x t w t e w t e -=+ππ单边指数衰减信号频f|X (fA /φ(f )fπ/-π/2|c n | φnπ/2 -π/2 ωωω0ω0 3ω05ω03ω05ω02A/π2A/3π 2A/5π 幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0-3ω0-5ω0-ω0 -3ω0-5ω0 图1-26 被截断的余弦ttT-TT -T x (t ) w (t )10 1-根据频移特性与叠加性得: 000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ ﻩ可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动ｆ0,同时谱线高度减小一半。

也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

2－6求被截断的余弦函数cos ω０t (题图1-2)的傅立叶变换。

解2-7 求指数衰减信号0()sin at x t e ωt -=的频谱ﻩ解:()0001sin()2j t j tt e e j-=-ωωω指数衰减信号x (t )f X (f )Tf 0-f被截断的余弦函数频⎩⎨⎧≥<=T t Tt t t x ;0;cos )(0ω()[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dte e e dt tef dt e t x f X ft j t f j t f j T T TTft j ftj所以()01()2j t j t at x t e e e j--=-ωω单边指数衰减信号1()(0,0)at x t e a t -=>≥的频谱密度函数为11221()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞∞----∞-====++⎰⎰ωωωωω根据频移特性与叠加性得:[]001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤---+=--+=-⎢⎥+-++⎣⎦--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2-9 求h (t )的自相关函数。

ﻩ{(0,0)()0(0)atet a h t t -≥>=< 解:这就是一种能量有限的确定性信号,所以 ﻩ()01()()()2at a t a h R h t h t dt e e dt e aττττ∞∞--+--∞=+==⎰⎰ 2-10 求方波与正弦波(见图5-24)的互相关函数。

图5-24 题5-3图指数衰减信号的频谱解法1:按方波分段积分直接计算。

ﻩ00344304411()()()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()T Txy T TT T T R x t y t dt x t y t dt T T t dt t dt t dt T τττωωτωωτωωτωτπ=+=-⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰ 解法2:将方波y (t )展开成三角级数,其基波与ｘ(t )同频相关,而三次以上谐波与x (ｔ)不同频不相关,不必计算,所以只需计算ｙ(ｔ)的基波与x (ｔ)的互相关函数即可。

411()cos cos 3cos 535y t t t t ωωωπ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭所以[][]00000114()()()sin()cos()41sin()sin()22sin(2)sin()220sin()sin()T T xy T T T R x t y t dt t t dtT T t t t t dt T t dt dt T T T ττωωωτπωωωτωωωτπωωτωτπωτωτππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭=-+++--⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰解法3:直接按Ｒｘy (τ)定义式计算(参瞧下图)。

ﻩ034430441()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()Txy TTT T T R x t y t dt Tt dt t dt t dt T ττττττωωωωτωτπ----=+⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰y (ﻩ参考上图可以算出图中方波y (t )的自相关函数41024()32()0,1,2,y y T T TR TTR nT n ττττττ⎧-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+=±±⎩2-１1 某一系统的输人信号为ｘ(t )(见图5-２5),若输出y (t )与输入x (ｔ)相同,输入的自相关函数Ｒx (τ)与输入—输出的互相关函数Ｒx (τ)之间的关系为Ｒx (τ)=R ｘｙ(τ+Ｔ),试说明该系统起什么作用?解:因为R ｘ(τ)=Ｒxy (τ+T )所以0011lim ()()lim ()()T T T T x t x t dt x t y t T dt TTττ→∞→∞+=++⎰⎰所以ｘ(t +τ)=y (t +τ+T ) 令t 1 = t +τ+T ,代入上式得ﻩx (ｔ1 - T )=y (ｔ1),即ｙ(t ) = x (ｔ - T )结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T 时间。

２-12 已知信号的自相关函数为A cos ωτ,请确定该信号的均方值ψx 2与均方根值x rm ｓ。

解:R x (τ)=Acos ωτ ﻩψx ２= R x (0)=Aﻩrms x ==2-13已知某信号的自相关函数,求均方值 、与均方根值rms x 。

2－14已知某信号的自相关函数,求信号的均值x μ、均方根值 、功率谱。

图5-25 题5-4图方波的自相关函数２-１5已知某信号的自相关函数,求信号的自功率谱。

解:采样序列x (n )ﻩ()111110()()()cos 2()cos ()24N N N s s s n n n n n x n x t t nT nT t nT t πδπδδ---===⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑2－18 对三个正弦信号x 1(t )＝cos ２πt 、x 2(t )=co ｓ6πt 、x ３(t )＝cos １０πｔ进行采样,采样频率f s =４Hz,求三个采样输出序列,比较这三个结果,画出x 1(ｔ)、x ２(t )、x 3(ｔ)的波形及采样点位置,并解释频率混叠现象。