第10章 非正弦周期电流电路
10.1 非正弦周期信号 10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数 10.3 有效值、平均值和平均功率（，★） 10.4 非正弦周期电流电路的计算（，★） 10.5
滤波器 频谱分析仪
10.1 非正弦周期信号
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等工 程实际中，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 一、产生非正弦周期电压和电流的原因 1. 激励(电源或信号源)本身是非正弦信号
ak Akmcosψk bk Akmsinψk
ψk
arctan( bk ) ak
系数的计算：
A0
a0
1 T
T
f (t)dt
0
1 2π
2π
f (ωt)d(ωt)
0
ak
2 T
T 0
f (t)coskωtdt
1 π
2π
f (ωt)coskωtd(ωt)
0
bk
2 T
T
f (t)sinkωtdt
二、谐波分析法 ----非正弦周期电流电路的分析方法
1. 首先，应用傅里叶级数展开的数学方法，将非 正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列 不同频率的正弦量之和；
2. 然后，根据叠加定理，分别计算在各个正弦量 单独作用下在电路中产生的不同频率正弦电流 分量和电压分量；
3. 最后，把所得分量按时域形式叠加。得到电路 在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
信 周期信号
非正弦信号:不是按正弦规律变化的周 期信号。
号 非周期信号:不是周期性的信号。
(“信号与系统”中研究)
含有周期性非正弦信号的电路，称为非正弦周期性 电流电路。本章仅讨论在非正弦周期电流、电压信号的 作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。非正弦周期 信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和， 每一信号单独作用下的响应，与直流电路及正弦电流电 路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容 的综合。
Tt
4. 函数的波形在横轴上下部分包围的面积相等，a0=0。
二、非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定 一个函数的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常 用频谱图表示。
频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的 图形称为频谱图或频谱。
1.幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k1)的关系。 反映
4.试述谐波分析法的 应用范围和应用步骤 。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) 若满足狄里赫利条件
( k = 1, 2, 3, … )
满足
f(t) 在任一周期内绝对可积
f(t)
f(t) 在任一周期内具有有限个极值
f(t)在任一周期内具有有限个不连续点
…..
A0 Akmcos (kωt ψk )
k 1
二次谐波
直流分量
（2倍频）
高次谐波
基波（或 一次谐波）
f(t)=A0+
k=1
Akmcos(k1t+Ψk)--傅里叶级数也可表示成：
f (t) a0 (ak cos k1t bk sin k1t)
k 1
系数之间的关系为：
A0 a0
Akm ak2 bk2
级试数画为出其i(t)振幅2π频I (谱sin。ω1t
1 2
sin2ω1t
Ikm
1 3
sin3ω1t
)
解：
i
I
2I/
T/2
-T/2
0
T
t I/ 2I/3 I/2
I
0 1 21 31 41 51
i(t) =
2I
cos(1t-90o) +
1 2
cos(21t+90o)
+
1 3
cos(31t-90o)
则f(t)可展开为一个由正弦函数和余弦函数组成的三 角函数，即收敛的傅里叶级数。
一、非正弦周期函数的傅里叶级数：
周期函数 f(t)=f(t+kT) 满足狄里赫利条件，
T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，……
f (t) A0 A1mcos(ωt ψ1 ) A2mcos(2ωt ψ2 )
了各频率成份的振幅所占的“比重”。因k 是正整数， 故频谱图是离散的，也称线频谱。
2.相位频谱：以角频率为横坐标,Ψk为纵坐画出的图形。
1.幅度频谱 Akm
Akm～ k1 的图形
0 ω1 3ω1 5ω1 7ω1
2.相位频谱
谱线
Ψk
2
0 1
2
Ψk ～ k1的图形
21
41
31
k1 k1
应用举例
例：10-1设锯齿波i(t)的波形如图(a)所示，其傅里叶
+
1 4
cos(41t+90o)
+
今后若无说明，均指振幅频谱。
1.非正弦周期信号 的谐波表达式是什 么形式？其中每一 项的意义是什么？
3.能否定性地 说出具有奇次 对称性的波形 中都含有哪些 谐波成分？
2.举例说明什么 是奇次谐波和偶 次谐波？波形具 有偶半波对称时 是否一定有直流 成分？
没有正弦项。
f(t)
2.奇函数 f (t) f (t) ，ak 0
如果信号的波形对称于原点，傅 里叶级数中不含有直流分量和余弦
-T/2 0 T/2
t
项，它仅由正弦项所组成。
f(t)
3.奇谐波函数 f (t) f (t T2) ，a2k b2k 0
镜像对称,只含有奇次谐波分量， 0 T/2
而不含有直流分量和偶次谐波分量。
0
1 π
2π
f (ωt)sinkωtd(ωt)
0
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
注意 利用函数的对称性可使系数的确定简化。
1.偶函数 f (t) f (t) ，bk 0
f(t)
如果非正弦周期信号的波形
对称于纵轴，其傅里叶级数中 只含有余弦项和直流分量，而
-T/2 0 T/2 t
这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期
电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。
思考与练习
1.什么叫非正弦周 期波，你能举出几 个实际中的非正弦 周期波的例子吗？
2.电路中产生 非正弦周期波 的原因是什么 ？试举例说明 。
3.有人说：“只要 电源是正弦的， 电路中各部分的 响应也一定是正 弦波”，这种说 法对吗？为什么 ？
u
u
t
0
T
函数信号发生器 中的方波电压
t
0
T
2T
电子示波器扫描
电压的锯齿波
2. 电路中含有非线性元件
uS 0
+D
+
uR
t u-S
R uR
-0输出波形
3. 电路中有不同频率的电源共同作用
交直流 共存电路
RS
+ uS
-
Rb2 C1
Rb1
+VCC RC
C2 + RL u0 -
u0 t
正弦信号:按正弦规律变化的周期信号。