【例4】 已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式． 错解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4. 错因分析：本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定 义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结 论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么 按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x) ＝x2－4的定义域不是全体实数．
图象法
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典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
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1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
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4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
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正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
(2)解法一：(换元法)令 x＋1＝t(t≥1)， 则 x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12 ＝t2 －1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
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解法二：(配凑法)
x＋2 x＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)． ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
)
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解析：结合函数的定义知，对A、B、D，定义 域中每一个x都有唯一函数值与之对应，而对C，对 大于0的x而言，有两个不同值与之对应，不符合函 数定义，故选C. 答案：C
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3．若 f
1 1 ＝ ，则 x 1＋x
f(x)＝________.
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题型三 求函数解析式 【例3】 求下列函数的解析式： (1)已知f(x)为一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
解：(1)(待定系数法)因为f(x)是一次函数． 设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
1．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：
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3．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1) －f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 解：设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
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课堂总结
1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图 象法． 2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连 线；(2)图象变换． 3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、 待定系数法等．
不够形象、直观、 具体，而且并不是 所有的函数都能用 解析式表示出来
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优
点
缺
点
不需要计算就可以 直接看出与自变量 列表法 的值相对应的函数 值 能形象直观地表示 出函数的变化情况
它只能表示自变量 取较少的有限值的 对应关系 只能近似地求出自 变量的值所对应的 函数值，而且有时 误差较大
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196 所以 t＝x＋ ，又因为 x≤20，x 为正整数， x
所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N*}． (2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, 17,18,19,20，共取20个值，列表如下：
x
t 11
1
2
3
4
5
44.2 16
由解析式可得到分段函数的简图，从而得到表 示函数M＝f(m)的另一种方法，即图象法．
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题型二 作函数的图象 【例2】 作出下列函数图象： (1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)． 解：(1)因为x∈Z且|x|≤2， ∴x∈{－2，－1,0,1,2}． 所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))．
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则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝ k＝2 k2＝4 k＝－2 4x－1，∴ ，∴ ， 1 或 kb＋b＝－1 b＝1 b＝－3 1 ∴f(x)＝2x－ 或 f(x)＝－2x＋1. 3
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点评：在实际研究一个函数时，通常是将上述 三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描 点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方 法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中， 仍以解析法为主．
1．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：
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1.2.2
函数的表示法（一）
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1．掌握函数的三种表示方法：列表法、图象 法、解析法，体会三种表示方法的特点． 2．掌握函数图象的画法及解析式的求法．
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自学导引
表示函数的方法常用的有： (1)解析法——用数学表达式 表示两个变量之间
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预习测评
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为( x f(x) 1 －3 2 －2 3 －4 4 －1 )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：由表可知f(3)＝－4，故选D. 答案：D
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2．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是(
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1．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量 和对应邮资如下表：
信函质量 (m/g) 邮资 M/元 0<m≤2 20<m≤ 40<m≤ 60<m≤ 80<m≤ 0 40 60 80 100 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0
试用另外两种表示方法表示函数M＝f(m)．
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1．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：
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2．作出下列函数的图象： 1 (1)y＝ ，x>1； x (2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解：(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1
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(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1.所画函 数图象如图2.
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解：已知给出的是用列表法表示的函数M＝ f(m)，该函数是分段函数．
1.2 0<m≤20 2.4 20<m≤40 M＝ 3.6 40<m≤60 4.8 60<m≤80 6.0 80<m≤100
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即 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ， 由 恒 等 式 性 质 ， 得 2a＝2 a＝1 ，∴ . a＋b＝0 b＝－1 ∴所求二次函数为 f(x)＝x2－x＋1.
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误区解密 因忽略函数的定义域而出错
的对应关系； (2)图象法——用 图象 表示两个变量之间的对 应关系； (3)列表法——列出 表格 来表示两个变量之间 的对应关系．
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自主探究
任何一个函数都可以用解析法表示吗？ 答：不一定．如某一地区绿化面积与年份关系 等受偶然因素影响较大的函数关系等无法用解析式 表示．
6
38.7 17
7
35 18 28.9
8
32.5 19 29.3
9
30.8 20 29.8
10
29.6
197 100 68.3 53 12 13 14 15
28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5
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注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列．如 图所示．
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(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3； 当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 所画函数图象如图(2)．