高二上学期期末考试数学（理）试题（及答案)数 学 试 题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1．以下说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x+2≠0B ．“x=1”是“x 2－3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20+ x 0+1＜0，则p ⌝：R x ∈∀，则x 2+x+1≥0 2．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2+b 2=2ab+c 2，则角C 为（ ）A ．30°B ．45°C ．150°D ．135°3．不等式ax 2－2x+1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）A ．a ＜1B ．a ＜0C ．0＜a ＜1D ．a ≤14．等差数列公差不为0，首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项和为（ ）A ．90B ．100C ．145D ．1905．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=AA 1=2，∠AC B=90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，当二面角C 1－AA 1－B 为45°时，直线EF 和BC 1所成的角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=2a ，则ab =（ ） A ．23 B ．22 C ．3 D ．27．已知m 是△ABC 内一点，且→AB ·→AC =23，∠BAC=30°，若△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积分别为21、x 、y ，则y 4x 1+的最小值为（ ） A ．20 B ．19 C ．16 D ．188．等差数列{}n a 中，S 15＞0，S 16＜0，则使a n ＞0成立的n 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．若直线 不平行于平面α，且 ⊄α，则（ ）A ．α内的所有直线与 异面B ．α内不存在与 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与 平行D ．α内的直线与 都相交10．在△ABC 中，若a=2b cosC ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三解形D ．直角三角形11．已知点M 是x 2=4y 上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：（x －1）2+(y －5)2=1上，则MA +MF 的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．1012．设椭圆C ：2222x by a +=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，P F 2⊥F 1F 2，∠P F 1F 2=30°,则C 的离心率为（ ）．A ．63B ．31C ．21 D ．33 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知ABCD 为正方形，点P 为平面ABCD 外一点，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2=PC ，则点C 到平面PAB 的距离为 .14．已知数列{}n a 为等比数列，且a 1a 13+2a 27=4π，则tan(a 2a 12)= .15．在直角三角形ABC 中，AB=4，AC=2，M 是斜边BC 的中点，则向量→AM 在向量→BC 方向上的投影是 .16．过双曲线22225a x ay --=1（a ＞0）右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 .三、解答题（共70分）17．（10分）已知不等式ax 2－3x+6＞4的解集为{x x ＜1或x ＞}b . (1)求a 、b ；(2)解不等式ax 2－(ac+b)x+bc ＜0(c ∈R)18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosC+(cosA －3sinA)cosB=0.(1)求角B 的大小；(2)若a+c=1，求b 的取值范围.19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足a 1=1，a 21n +－a 2n =2(n ∈N*)(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 2n 2a 的前n 项和.20.(12分)已知p:4-x 3＞2，q:212--x x ＞0，r ：(x －a)(x ―a ―1) ＜0. (1)⌝p 是⌝q 的什么条件？(2)若⌝r 是⌝p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠DAB=135°，BC=22，SB=SC=AB=2，F 为线段SB 的中点. (1)求证：SD ∥平面CFA ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值.22.(12分)已知椭圆C ：2222bx y a =1（a ＞b ＞0）的离心率为35，定点M （2，0），椭圆短轴的端点是B 1B 2，且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于M 的定点p ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点p 的坐标，若不存在，说明理由.高二期末数学答案一、选择题1—5 CBDBC 6—10 DDCBB 11—12 BD 二、填空题 二、137212 14.3 15－553 16（5，10） 三、解答题（70分）17．解（1）原不等式可化为ax 2－3x+2＞0由题意知x=1是方程ax 2－3x+2=0的根 ∴ a=1∴x 2－3x+2＞0 ∴x ＜1或x ＞2 故b=2…………5分（2）由(1)可知原不等式可化为x －(c+2)x+2c ＜0 (x －c)(x －2) ＜0 ①当c ＞2，2＜x ＜c②当c=2，x φ∈③当c ＜2，c ＜x ＜2综上，当c ＜2时，原不等式的解集为{x c ＜x ＜}2，当c=2时，原不等式解集为φ，当c ＞2时，原不等式解集为{x 2＜x ＜}c .18．解：(1)∵cosC+(cosA －3sinA)cosB=0∴－(cosAcosB －sinAsinB)+ co sAcosB －3sinAsinB=0 ∴sinAsinB －3sinAcosB=0∵sinA ≠0 ∴tanB=3 ∴0＜B ＜π ∵B=3π……………………6分 (2)b 2=a 2+c 2-2acosB=(a+c)2-2ac-2ac ·21 =1-3ac ≥1-3(2c a +)2=41 ∴41≤b 2＜1 ∴21≤b ＜1………………12分 19、(1) ∵a 1=1 a 21+n －a 2n =2(n *∈N )∴a 2n =1+(n －1)·2=2n-1∵a n ＞0∴a n =12-n (n *∈N )…………5分(2)由(1)知a n =12-n ，∴n 2n 2a =n n 212- ∴S n =21+223+325+…+1-n 21-n 2① 则21S n =221+323+425+…+1n 21-n 2+② ①－②得，21S n =21+222+322+…+n 22－1n 21-n 2+=21+2[211)21-1411-n -（]－1n 21-n 2+ =23－1n 23n 2++ ∴S n =3-n 23n 2+(n *∈N )……………………12分 20．(1)p:4-x 3＞2⇔x ＜32或x ＞2 q:212--x x ＞0⇔)1)(2(1+-x x ＞0⇔x ＞2或x ＜-1 ∴⌝p: 32≤x ≤2 ⌝q:－1≤x ≤2 ∵⌝p ⇒⌝q ，但⌝q ⇒⌝p∴⌝p 是⌝q 的充分不必要条件(2)r:(x-a)(x-a-1) ＜0⇔a ＜x ＜a+1∴⌝r:x ≥a+1或x ≤a∵⌝r 是⌝p 的必要不充分条件∴a ≥2或a+1≤32 即a ≥2或a ≤-31故a 的取值范围是（－∞，－31] [2，+∞]21、(1)连结BD AC=E 连结EF∵ABCD 是平行四边形∴BE=ED 又F 是SB 的中点∴EF ∥SD又EF ⊂面CFA ，SD ⊄面CFA∴SD ∥面CFA …………6分(2)取BC 中点O ，连OS 、OA∵SB=SC ∴SO ⊥BC 又面SBC ⊥面ABCD∴SO ⊥面ABCD在△ABC 中，AB=2 ∠ABC=45°BC=22由余弦定理，得AC=2 ∴∠BAC=90°又AB=AC∴AO ⊥BC 建立如图所示坐标系.则A(2，0，0) B （0，－2，0） S （0，0，2） C(0, 2,0) D(2,22,0)设面SAB 的法向量为→1n =（x 1,y 1,z 1）由 →1n ·→AB =0 －2x 1－2y 1=0 得→1n ·→SB =0 －2y 1－2z 1=0 取z 1=－1，得→1n =(－1,1,－1)设面SCD 的法向量为→2n =(x 2，y 2，z 2)同理可得→2n =(－1,1,1)∴cos ＜→1n ，→2n ＞=→→→→2121n n n n =31 故面SCD 与面SAB 所成锐二面角的余弦值为3122、解：(1)由e 2=222a a b -=1－22a b =95的32=a b 又∵△MB 1B 2是等腰直角三角形，∴b=2 ,a=3故椭圆C 的方程为49x 22y +=1…………5分 (2)设AB 的方程为x=my+2代入49x 22y +=1得 (4m 2+9)y 2+16my －20=0∴y 1+y 2=94162+-m m y 1y 2=94202+-m …………8分 若PM 平分∠APB ，则直线PA 、PB 倾斜角互补∴K pA +K pB =0 设p(n ，0)则有nx y n -+-2211x y =0…………10分 把x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式，得2my 1y 2+(2－n)(y 1+y 2)=0∴2m ·9m 4202+-+(2-n)094m m 162=+-即（－2n+9）m=0由于上式对任意实数m 都成立，∴n=29综上，存在定点p(29，0)，使pM 平分∠APB …………12分。