第三章 数据分布特征的统计描述思考与练习一、选择题1．有n 辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料，确定汽车平均每小时行驶速度的平均数公式是：（ C ）A ．n x∑ B ．∑∑fxf C ．∑x n 1 D ．∑∑xm m2．权数对加权算术平均数的影响，取决于（ B ）A. 权数所在组标志值的大小；B. 权数的大小；C. 各组单位数的多少；D. 总体单位数的多少 3．是非标志不存在变异时，意味着：（ B ，C ）A. 各标志值遇到同样的成数；B. 所有单位都只具有某种属性C. 所计算的方差为0；D. 所计算的方差为0.254．能够综合反映总体各个单位标志值的差异，对总体标志变异程度作全面客观评定的指标有（ A ，C ）A.方差B.算术平均数C.标准差D.全距二、判断题1．甲乙两地，汽车去程时速20公里，回程时速30公里，其平均速度为25公里。
[答]错。
本题应采用调和平均法计算平均速度。
2．权数起作用的前提是各组的变量必须互有差异。
[答]对。
3．变量同减某个数再同除于另一数然后求其方差，其方差等于原方差乘于除数的平方。
[答]对。
4．与平均数相比，中位数比较不受极端值的影响。
[答]对。
三、计算题1．甲乙两企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下表，试比较哪个企业的平均成本高，并分析其原因。
产品 单位成本(元) 总成本(元) 甲企业 乙企业 A B C15 20 302100 3000 1500 3255 1500 1500[解]甲企业的平均成本210030001500660019.4118210030001500340152030++===++乙企业的平均成本325515001500625518.2895 325515001500342152030++===++由上面的计算得知，甲企业的平均成本高于乙企业。
因为乙企业单位成本低的A产品生产的数量多，占总成本一半以上，即成本低的产品相对权数大，而甲企业生产单位成本低的A产品数量少，仅占总成本的31.8%（=2100/6600）。
由于权数的作用，乙企业的平均成本低于甲企业。
2．甲、乙两市场农产品价格及成交量资料如下表，试比较哪个市场的平均价格高，并分析其原因。
品种价格(元/公斤) 甲市场成交额(万元) 乙市场成交量(万公斤)甲乙丙1.21.41.51.22.81.5211合计-- 5.5 4 [解]甲市场的平均价格1.22.8 1.5 5.51.375 1.22.8 1.541.2 1.4 1.5++===++乙市场的平均价格1.22 1.41 1.51 5.31.32544⨯+⨯+⨯===由上面的计算得知，甲市场农产品的平均价格高高于乙市场。
因为价格低的甲产品在甲市场成交额少，仅占21.8%（=1.2/5.5）；而在乙市场的成交额大，占45.3%（=2.4/5.3），由于权数的作用，甲市场的平均价格高于乙市场。
3．某企业工人平均月工资为1440元，月收入少于1280元的占一半，试估计众数，并对该企业工人工资的分布情况做一简要说明。
[解] 由题中可知，企业工人月工资的中位数=1280所以众数≈1440-3×(1440-1280)=960所以众数<中位数<平均数，则该企业的月工资分布为右（正）偏，说明该企业工人的月工资分布中出现极大值，即出现有人拿到高额的工资，导致月工资分布呈右偏。
4．某城市对3000户居民户均月消费支出进行调查，得到下表资料。
居民户月均支出(元) 户数比重(%)200以下200～ 300 300～ 400 400～ 500 500～ 600 600～ 700 700～ 800 800～ 900301804506001 050300180120161520351064900～1 000 1000以上60 30 2 13 000100.00要求：(1)计算居民户总平均月支出；(2)计算居民户月均支出标准差和变异系数； (3)计算居民月均支出中位数和众数;(4)分析平均数、中位数和众数之间的数量联系，并阐明分布的特征。
[解]（1）居民总平均月支出52501.0105002.095004.085006.07501.065035.05502.045015.035006.025001.0150=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）居民月均支出标准差()()()()7492.93888125052510505253505252505251502222≈=-++-+-+-（3）居民户数数列向上累计频数为2310，占总户数一半以上，中位数处于在这一组，即月均支出数列500~600中。
用下限公式计算：8571.5228571.2250010010501260150050021=+≈⨯-+=⨯-+=-∑e ee e M M M M e df S fL M用上限公式计算：8571.5221429.776001001050690150060021=-≈⨯--=⨯--=+∑e ee e M M M M e df S fU M频数最高的（户数最多）组就是众数所在之组，众数应处于居民月均支出分组500~600这一组，用下限公式计算：()()5.537100300105060010506001050500)()(111=⨯-+--+=⨯-+--+=+--oo o o o o o o M M M M M M M M o d f f f f f f L M用上限公式计算：()()5.537100300105060010503001050600)()(111=⨯-+---=⨯-+---=+-+oo o o o o o o M M M M M M M M o d f f f f f f U M5.某生产班组11个工人日生产零件数为：15，17，19，20，22，22，23，23，25，26，30。
要求：(1)计算平均数和方差；(2)按照15～19、20～24、24以上分成三组，计算组内方差和组间方差；(3)验证总方差等于组间方差与组内方差平均数之和。
[解]（1）总平均数2211301715=+++=x ，总方差()()()11178112230221722152222=-++-+-=σ（2）组一（15~19）：15，17，19 ；171=x 组内方差：3821=σ 组二（20～24）：20，22，22，23，23 ；222=x ； 组内方差：5622=σ 组三：（24以上）：25，26，30 ；273=x ； 组内方差：31423=σ ∴组间方差()()()11150113222752222322172222=⨯-+⨯-+⨯-=δ（3）证明：总方差216.18σ=，组间方差213.64δ=组内方差的平均值11281133145563382=⨯+⨯+⨯=i σ 22211281115011178i σδσ+=+==∴总方差=组间方差+组内方差的平均值。
原命题得证。
6．某管理局下属8家企业的产品销售数据如下表所示：.试比较其产品销售额和销售利润的离散程度。
企业产品销售额(X 1) （万元）销售利润(X 2) 1 2 3170 220 3908.1 12.5 18.04 5 6 7 8430 480 650 950 1 00022.0 26.5 40.0 64.0 69.0[解] 产品销售额的平均数=536.25，标准差=289.2204；∴其标准差系数5393.025.5362204.289≈=销售利润的平均数=32.5125，标准差=21.6004∴其标准差系数6644.05125.326004.21≈=根据标准差系数的计算结果，产品销售额的标准差系数较小，说明产品销售额离散程度较小，分布比较均匀。
7．某高校学生参加英语四级考试的优秀率和合格率分别为15%和90%，试计算优秀率和合格率分布的方差和标准差。
[解] 该题属于求0－1分布的方差和标准差 由题意得优秀率P 1＝15％，合格率P 2＝90％ ∴优秀率的方差和标准差21111(1)0.150.850.12750.3571P P σσ=-=⨯== ∴合格率的方差和标准差22222(1)0.90.10.090.3P P σσ=-=⨯==8.某粮食作物的产量和播种面积资料如下，试测定其偏度和峰度。
亩产量x 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900 900～1 000 合计播种面积f630 50 60 40 14 200[解]亩 产（百斤） 组中值i xi fi i f x x x - ()f x x 2- ()f x x 3- ()f x x 4-1 4～5 4.5 6 27 -2.7 43.74 -118.098 318.86462 5～6 5.5 30 165 -1.7 86.7 -147.39 250.563 3 6～7 6.5 50 325 -0.7 24.5 -17.15 12.0054 7～8 7.5 60 450 0.3 5.4 1.62 0.486 5 8～9 8.5 40 340 1.3 67.6 87.88114.24469～109.5141332.374.06170.338 391.77742.72001440===∑∑fxf x （百斤），2288.151.1200302===σ； 偏度00614.02288.12008.22333<-=-==σνα 峰度06143.033857.2320030220094.10873244<-=-=-⎪⎭⎫⎝⎛=-=σνβ负偏；低峰态。
2001440302-22.81087.94。