第11章Euclid空间上的极限和连续
一、判断题
1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]
【答案】错
【解析】举反例：，很明显
但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有
不唯一．
二、填空题
（1）函数的定义域是______，它是______区域；
（2）函数的定义域是______；
（3）函数的定义域是______；
（4）二元函数的定义域是______；
（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]
【答案】
（1）
（2）
（3）椭圆与抛物线所围的区域；
（4）
（5）
三、解答题
1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有
证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]
证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当
时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在
上连续，所以，又，从而，即
，故F是闭集．
2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]
解：方法一由于
令，有
所以
方法二由于，，所以
，故有
3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]
证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得
因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当
时恒有．特别当时
，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得
即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有
，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．
4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A
证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]
令
显然
W、V为开集．
5．设
试讨论下面三种极限：
[南京工学院研]
解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限
都不存在．
6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限
是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]
解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数
7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．
（1）试比较的大小并证明之；
（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]
解：（1），有
上式对于任意的x都成立，则
由y的任意性可知
（2）若，使
下面证明上面条件为充分条件
显然
8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为
证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有
对使
故对时，
即上的一致连续函数．
9．[暨南大学2013研] 解：设，则。