6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且 有若干典型的模拟滤波器供我们选择，这些滤波器都 有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使 用。
典型的模拟滤波器 – 巴特沃斯 Butterworth 滤波器
为什么要借 助于模拟滤
幅频特性单调下降
波器设计数
– 切比雪夫 Chebyshev 滤波器
Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制
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2）幅度平方函数的极点分布：
Ha(
j)
2
Ha(
j)
H
a
(
j)
H ( j) H ( j) H (s)H (s) s j
1
2N
一 c 个全极点滤波器，其极点：
s k ( 1 ) 2 1 N j c c e j 1 2 2 2 k N 1 k 0 . 1 ,2 ,. . . ,2 N 1
Ha(s)
N 1
(
1 s
sk
)
k0 c c
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
令 λ=Ω/Ωc ， λ 称 为 归 一 化 频 率 ； 令 p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特
p 10lg Ha( jp) 2 s 10lg Ha( js) 2
以上技术指标用图所示。图中Ωc称为3dB截止频 率，因
Ha( jc) 1/ 2 20lg Ha( jc) 3dB
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逼近方法—用频率响应的幅度平方函数逼近
滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传
输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定 的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应 为实数，因此
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1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标 构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s)
Butterworth（巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近
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1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(续)
模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和 Ωs。
字滤波器
幅频特性在通带或者在阻带有波动
– 贝塞尔 Bessel 滤波器
通带内有较好的线性相位持性 以这些数学函
– 椭圆 Ellipse 滤波器
数命名的滤波 器是低通滤波
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器的原型
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模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带 通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所 示。
H a (jΩ)
H a (jΩ)
Ha(j)2 Ha(j)Ha(j) sj
Ha(s)Ha(s)
幅度平方函数在模拟滤波器的设计
中起很重要的作用，对于上面介绍
的典型滤波器，其幅度平方函数都
有自己的表达式，可以直接引用。
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(1)由幅度平方函数 Ha( j) 2 确定模拟滤波 器的系统函数 H a ( s )
H a (j )2 H a (j )H a * (j ) h(t)是实函数
通常只观察正 频部分
低通
高通
0
Ω0
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
带通
c
Ω0
带阻 Ω
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设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通 过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤 波器。
下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近 方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪 夫滤波器的设计方法。
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2、Butterworth 低通的设计方法
幅度平方函数
1）幅度函数特点 2）幅度平方函数的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤
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1）幅度平方函数
Ha( j) 2
1
2N
1
c
N为滤波器的阶数
c 为通带截止频率
当
Ha(j c)21/2时p
20lg Ha(j0) Ha(jc)
2N个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上 (该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是π／N rad。
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• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点
• 极点间的角度间隔为/Nrad
？
• 极点不落在虚轴上
• N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
一半极点在 左半平面
Ωp；通带截止频率 Ωs：阻带截止频率 αp：通带中最大衰减系数 αs；阻带最小衰减系数
αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降 的幅度特性，可表示成：
p10lg H a(j0)22
H a(j p)
s10lgH H aa ((j j0s ))22
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如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和 αs表示为
H a (j )H a ( j ) H a(s)H a(s)sj
将左半平面的的极点归 H a ( s )
将以虚轴为对称轴的对称
零点的任一半作为H a ( s ) 的零点，虚轴上的零点一
半归 H a ( s )
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由 H a (j )2 确 定 H a (s ) 的 方 法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 将Ha(s)Ha(s)因式分解，得到各零极点 对比Ha( j)和 H a ( s ) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得H a ( s )
j 2
s0 c e 3
j 2
s2 ce 3
s4 c
s1 c
j1
s3 c e 3
j 1
s5 c e 3
Ha(s)
3 a
j2
j2
(sc)(sc3 )(sc 3 )
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3）归一化系统函数
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计
统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB
截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为
一半极点在 右半平面
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为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平
面 的 N 个 极 点 构 成 Ha(s) ， 而 右 半 平 面 的 N 个 极 点 构 成 Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为
Ha(s)
N c
N 1
(s sk )
k 0
设N=3，极点有6个，它们分别为
3dB
称 c 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
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2）幅度函数特点：
Ha( j) 2
1
2N
1
c
0 Ha(j )21
c H a (j )2 1 /2p 3 d B 3dB不变性
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小