2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念 力对轴之矩等于零的情形： ①当力与轴相交时（d=0）， ②当力与轴平行时（ Fxy=0 ）。即当力与轴共面时，力对轴 之矩为零。
15
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
合力对平面上任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴
1）力对轴之矩的概念
当力F不作用于Oxy坐标面内时， 则可将其分解为两个分力：位于Oxy 内的分力Fxy和平行于z轴的分力Fz。 经验证明，如果一个力平行于z轴， 例如作用于门上的力F1，它是不可能 使物体绕z轴转动的。因此，分力Fz 对z轴之矩等于零。
z
F O d Fz A Fxy
12
机电工程学院
1）力对轴之矩的概念
力对轴之矩的单位是N· m，它是一个代数量。 正负号可用右手螺旋法则来判定：用右手握住转轴，四指 与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为 正； 反之，为负。
也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正， 顺时针 z z z 转向力矩为负。
－ ＋ － ＋
14
机电工程学院
F B2 B
NC
2m
B NB
Ft1 (c)
Fr1 FBx
(b)
2
机电工程学院
2019/1/23
第4章 空间力系与重心
4.1 空间力系的平衡
4.2 重心和形心
3
机电工程学院
2019/1/23
4.1 空间力系的平衡
4.1.1 力在空间轴上的投影
4.1.2 力对轴之矩
4.1.3 平衡方程及其应用
4
机电工程学院
机电工程学院
工程力学
宋清华
第4章 空间力系与重心
C D B 4 5° 4 5° FC O FB 4 5°
凡各力的作用线不在同一个平 面内的力系称为空间力系。
G
A
(a) G2 C 1 60 2 00 1 60
0.6 m
0 .8 m G1 A NA
0.6 m
0.2 m
FAz A FAx
Fr2
F t2 r2 r1
18
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
解 （2）计算力矩 力F与z轴相交，它对z轴之矩等于零
M z (F ) 0
在计算力F对x、y轴之矩时利用合力矩定理。将力F分解为 两个分力Fxy和Fz，因分力Fxy与x、y轴都相交，它对x、y轴之
2）二次投影法
当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，
即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个 过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上。
6
机电工程学院
2019/1/23
4.1.1 力在空间轴上的投影
2）二次投影法
若已知γ和φ，则可先将力 F投影到Oxy坐标平面上，得
z D Fz A F
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
于是，力F对z轴之矩就等于分力Fxy对z轴之矩，即 Mz(F)=Mz(Fxy)=±Fxyd 力对某轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的投影对于该轴 与此平面交点之矩。力对轴之矩是代数量。
13
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
4.1.1 力在空间轴上的投影
4.1.2 力对轴之矩
4.1.3 平衡方程及其应用
9
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
力F使齿轮绕轴心O的转动，实际上是使齿轮绕转轴（过O 点且垂直于图平面）的转动。
10
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
之矩的代数和，即
Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi) My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi) Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi) 这就是空间力系的合力矩定理。
16
机电工程学院
2019/1/23
以z 轴表示转动，力F使物体绕 z轴转动的效应，用力 F对 z 轴之矩MO(F)来度量。当力F作用于Oxy坐标面内时，显然有
MO(F)=MO(F)=±Fd
正负号按右手螺旋法则确定，即 以四指表示力矩转向，如大拇指 所指方向与 z 轴正向一致则取正 号，反之取负号。

机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
2019/1/23
4.1.1 力在空间轴上的投影
1）一次投影法 若已知力F与x、y、z轴正向的夹角α、β、γ，则力F在三个坐 标轴上的投影分别为力 z
D F A
Fx=F cosα Fy=F cosβ
E
Fz

O Fx
Fz=F cosγ
B x
5

F Fy G
C y

机电工程学院
2019/1/23
4.1.1 力在空间轴上的投影
Fxy F cos30
再将Fxy向x、y轴上投影，得
Fx Fxy cos 45 F cos30 cos 45 122.5N Fy Fxy cos 45 F cos30 cos 45 122.5N
Fz F sin 30 100N
7
机电工程学院
2019/1/23
4.1.1 力在空间轴上的投影
2）二次投影法 力在轴上的投影为代数量，其正负号规定：从力的起点 到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正； 反之为负。而力沿坐标轴分解所得的分量则为矢量。虽然两 者大小相同， 但性质不同。
8
机电工程学院
2019/1/23
4.1 空间力系的平衡
4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理 【例4.1】正方形板ABCD用球铰A和铰链B与墙壁连接，并用 绳索 CE 拉住使其维持水平位置。已知绳索的拉力 F=200N ， 求力F在x、y、z轴上的投影及对想x、y、z轴之矩。
17
机电工程学院
2019/1/23
4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
解 （1）计算投影 利用二次投影法求力F在x、y、z轴上的投影。力F在Oxy平 面上的投影为
到Fxy；再将Fxy投影到x轴和 y轴上。于是，力F在三个坐 标轴上的投影可写为

O B Fx
Fy C y Fxy
A

x
Fz F cos Fx Fxy cos F sin cos F Fxy F sin F F sin F sin sin xy y