2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{}xy y A 2==，，则=⋂B AA ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 为等差数列，且π21371=++a a a ，则=7tan aA ．BC ．D ．-3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()3,1的圆的方程是A ．()1222=-+y xB ．()1222=++y xC ．()1322=-+y xD ．()1322=++y x4．已知ABC ∆中，10=AB ,6=AC ,8=BC ,M 为AB 边上的中点，则=⋅+⋅A ．0B ．25C ．50D ．100⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=011x x x B ），（10），（∞+11,1（-）11,∞⋃+∞（-，-）（）5．林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进 行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图， 下列描述正确的是A ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 甲 乙 高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐. 9 1 0 4 0B ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 9 5 3 1 0 2 6 7 高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐. 1 2 3 7 3 0C ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 4 4 6 6 7 高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.D ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为307，既吹东风又下雨的概率为101. 则在吹东风的条件下下雨的概率为A ．113B ．73C ．117D ．1017．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七 七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国 剩余定理”. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ， 则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡.现将该问题 以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于A ．8B ．11C ．13D ．158．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则23a b+的最小值为A ．225B ．25C ．38D ．5010．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为ABCD11．已知函数),0,0()sin()(R a a x x f x∈<<>+=πϕωπϕω，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取 A ．2πB ．πC ．π2D ．π412．已知 ，若m x f =)(有四个不同的实根4321,,,x x x x ， 且4321x x x x <<<，则()4321x x x m x m +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的取值范围为 A ．()10,0 B ．[]10,0 C ．()4,0 D ．[]4,0正（主）视图侧（左）视图俯视图⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-=3,22352131,)1(log )(22x x x x x x f2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知55cos -=θ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ，2，则_______2tan =θ． 14．已知()m dx mx =+⎰11，则2921mx x ⎪⎭⎫⎝⎛+的展开式中常数项为__________．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3264--=n a S n n ，则=n S .16．椭圆)1(122>=+m my x 的左右顶点分别B A ,，过点B 作x 轴的垂线l ，点P 是直线l 上的一点，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点为O ，且BC OP ⊥，则=m .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足0)cos(3sin =++C B b B a ，19=a . （Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若,2=b 求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：C ο）的数据，如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a x b y ；（Ⅱ）设该地区4月份最低气温),(~2σμN X ,其中μ近似为样本平均数_x ，2σ近似为样本方差2s ，求)2.106.0(<<X P .附： （1）回归方程∧∧∧+=a x b y 中，∑∑==∧-⋅-=ni ini ii xn xy x n yx b 1221__，x b y a ∧∧-=；（2（3）若),(~2σμN X ，则6827.0)(=+<<-σμσμX P ,9545.0)22(=+<<-σμσμX P .19．（本小题满分12分）矩形ABCD 中，AD AB 2=，P 为线段DC 中点，将ADP ∆沿AP 折起，使得平 面⊥ADP 平面ABCP . （Ⅰ）求证：BP AD ⊥；（Ⅱ）若点E 在线段BD 上运动，当直线AE 与平面ABCP 所成角的正弦值为66时， 求二面角D AP E --的大小.1.8;≈≈ABCPDCPBDAE20．（本小题满分12分）抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于B A 、两点.（Ⅰ）若点）（0,1T ，且直线BT AT ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k +为定值； （Ⅱ）设B A 、两点在抛物线的准线上的射影分别为Q P 、，线段PQ 的中点为R ， 求证：FQ AR //.21．（本小题满分12分）已知自变量为x 的函数)!1!31!211(e )(32k x k x k x x x x J +++++-=Λ. 其中 +∈N k , e 为自然对数的底, Λ71828.2e =.（Ⅰ）求函数)(1x J 与)(2x J 的单调区间, 并且讨论函数)(x J k 的单调性; （Ⅱ）已知+∈N m , 求证:(ⅰ) 方程1)(12=-x J m 有两个根12-m β, 12-m α;(ⅱ) 若(ⅰ)中的两个根满足012>-m β, 012<-m α, 则1212+-<m m ββ, .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆锥曲线⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 6cos 22:y x C （α为参数）和定点)60(，A ，12F F 、是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程；（Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M N 、两点，求11NF MF -的值.1212-+<m m αα23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）设函数)0(122)(>++-=a x a x x f ，2)(+=x x g （Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≤的解集； （Ⅱ）若)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工）参考答案二、填空题 13.34 14. 84 15. ）（33211--+n n 16. 2 三、解答题17.（Ⅰ）,0cos sin 3sin sin =-A B B A ΘA A cos 3sin =∴,0sin ≠A Θ33tan π=∴=∴A A（Ⅱ）c c A ⋅⋅-+=∴=221942132πΘ5=∴c235sin 21==∴A bc S18.（Ⅰ）9,7==y x 92.12,56.0^^=-=a b92.1256.0^+-=∴x y（Ⅱ）102=s8186.0)2.106.0(=<<∴X P19.（Ⅰ）设222==AD AB ,则有22,2,2===AB BP AP ，满足222AB BP AP =+，所以AP BP ⊥由已知平面⊥ADP 平面ABCP ,平面⋂ADP 平面AP ABCP =,所以⊥BP 平面ADP ⊂AD 平面ADP ,所以AD BP ⊥（Ⅱ）以P 为原点，PB PA ,为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系xyz P -)0,2,0(),01,1(B D 则)1,2,1(--=,设),,(z y x E ，λ=，则)1,2,1(λλλ--E ,)1,2,1(λλλ---=AE ,平面ABCP 的法向量)1,0,0(1=n ，有66)1()2()1(1222=-++---λλλλ，解得31=λ 所以)32,32,34(-=AE ，)0,0,2(=设平面APE 的法向量为),,(1z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n AE n ,解得)1,1,0(1-=n 由第一问⊥BP 平面ADP ， )0,2,0(=PB ,则平面ADP 的方向量)0,1,0(2=n 设二面角D AP E --大小为θ2221cos =-=θ，则二面角D AP E --的大小为4π.20.（Ⅰ）设直线AB :1-=x my，）（）（2211,,,y x B y x A , ⎩⎨⎧=-=x y x my 412可得0442=--my y ,⎩⎨⎧-==+442121y y m y y ,)2)(2()4(2)4(2)2)(2()(22)11)(11()()1()1()1)(1()()1)(1()1()1(11212121212121122121211221211221221121=+++-=++++=+++++++++=+++++=+++++=+++=+my my m m my my y y y my my my y y my y my y x x y y x y x y x x x y x y x y x y k k（Ⅱ）,0,1,2,1,,1,,21211）（）（）（）（F yy R y Q y x A +-- )1(212121211211121x y y x yy x yy y k AR +-=+-=---+=,211022yy k QF-=---=)1(2)4()4()1(2)()1(2)2()1(2)1(2)1(211212111221112212121=+-+=+++=+++-=+++-=++-=-x m m x ymy y y x my y y y x x y y y y x y y k k QF AR即QFARkk =，所以直线AR 与直线Q F 平行21.（Ⅰ)）），减区间为（，）增区间为（（0,01∞-∞+x J ; ），）增区间为（（∞+∞-x J 2 ）为增函数，）上为减函数，在（在（为奇数，∞+∞-00,)(x J k k ）上为减函数在（为偶数，+∞∞-,)(x J k k（Ⅱ）略22.（Ⅰ）消参得16822=+y x ,,6,822==∴b a ,22=∴c )0,2()0,2(21F F ，-∴, ,162:2=+∴yx l AF ,化为极坐标方程：,6sin cos 3=+θρθρ, 即.263sin=+）（πθρ （Ⅱ）1AF l 的参数方程：)(30sin 30cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧︒=︒+-=代入16822=+y x ， 整理得：018634132=--t t ，,1361221=+∴t t 13612212111=+=-=-t t t t NF MF . 23.（Ⅰ）解:(1)当1=a 时,不等式)()(x g x f ≤即,21212+≤++-x x x等价于⎪⎩⎪⎨⎧+≤--≤2421x x x ①或,⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<-222121x x ②,或⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥2421x x x ③. 解①求得 x 无解,解②求得210<≤x ,解③求得,3221≤≤x 综上,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤320x x . （Ⅱ）由题意可得2122+≥++-x x a x 恒成立,转化为02122≥--++-x x a x 恒成立. 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<--+--≤-+-=--++-=2,13221,121,352122)(a x a x a x a x x a x x x a x x h ，）（0>a ， 易得)(x h 的最小值为12-a ，令012≥-a ，求得2≥a .。