7/60
i 1, C1 0,
B1 D1 T1 T2 A1 A1
AT 1 1 B1T2 D1
D1 B1 P ; Q1 1 A1 A1
Bi Pi ; Ai Ci Pi 1
(2) 回代过程－从M1点开始，利用式(b) 逐一得出Ti。
TM 1 PM 1TM 11 QM 1 ,
4/60
2. Thomas算法的一般形式 将上式改写为： (a) AT i i BiTi 1 CiTi 1 Di , i 1, 2,.....M 1 端点条件：i=1, Ci=0; i＝M1, Bi＝0 (1) 消元过程－把每行的未知数由三个减少为二个。 设消元后方程形式为：
Ti 1 Pi 1Ti Qi 1 (b)
端点条件：i＝M1, Bi＝0
PM 1 0
8/60
TM 1 Q1
Ti 1 Pi 1Ti Qi 1
逐一得出：TM1－1，….T2,T1 。
3. 第一类边界条件下Thomas算法的实施 第一类边界条件下，求解区域为i=2,….M1-1=M2。 将消元公式用于i=1, 注意T1是给定的：
变量一维存储顺序与矩阵系数的关系
W
P
E
S
11/60
(1) 五对角阵算法(Penta-diagonal ,PDMA) (2) 交替方向隐式方法 ( Alternative-direction Implicit, ADI) 2. 3-D Peaceman-Rachford方法 第一个 t / 3 X方向为隐式， y,z方向为显式式； 第二，三个 t / 3 分别在 2－D交替方向隐式 y,z方向实施隐式;
T T T b T b ( )b Tb T Tb T
从物理意义上，平均温度为：
1.0
b

R
0
2 rudr
R um
2
r u r 2 d ( ) ＝1 0 R u R m
1
数值传热学
第四章 扩散方程的数值解及其应用(2)
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2011年10月10日, 西安
1/60
第 4 章教学目录
4.1 一维导热问题 4.2 多维非稳态导热的全隐格式 4.3 源项与边界条件的处理 4.4 求解代数方程的TDMA及ADI 方法 4.5 管道内充分发展对流换热概说 4.6 圆管内充分发展的对流换热 4.7长方形截面通道内充分发展的对流换热
方程类型
?
31/60
（2）边界条件
T r 0, 0 （对称条件）； r T r R, he (T T ) （对流型外边界条件）； r
因管壁热阻略而不计（5），故取外壁半径＝R； 注意等式中的负号。
32/60
4.6.2. 控制方程的无量纲化 上述抛物型方程仍然是偏微分方程，难以求解； 利用充分发展条件引入无量纲温度，可化为常微分方程。
T
n 1 i, j ,k
v
n i, j ,k
t / 3
用von Neumann分析方法可以证明稳定性条件为：
1 1 1 at ( 2 2 2 ) 1.5 x y z
表面上看，相对于一维问题允许时间步长放大了3倍； 实际上并不！ 对二维问题P－R方法绝对稳定。 3. 这种求解非稳态全隐格式的交替方向隐式(ADIimplicit)与求解多维稳态问题的交替方向迭代(ADIiteration)方法极为相似。
Laminar flow forced convection in ducts. Advances in heat transfer. Supplement 1, New York: Academic Press, 1978
19/60
4.5.3 部分算例汇总
20/60
21/60
22/60
23/60
d 0; 0, d
(b)
d ) 1 Bi w d
(c)
35/60
问：方程(a)-(c) 能否得出温度场的唯一解？
4.6.3. 单值性条件分析 由于方程与边界条件的齐次性(homogeneous)： 微分方程的每一项都含有关于被求变量或其导数的 一次方的部分：
1 d d 1 u ( ) /( ) d d 2 um
a ( x2ui , j , k y2vi , j , k z2ui , j , k )
a( x2 vi , j , k y2 vin, j , k z2Ti ,nj,1 k)
13/60
vi , j , k u 第二个 子时层： t / 3
第三个 子时层：
2/60
4.4 求解代数方程的TDMA及ADI 方法
4.4.1 求解一维导热问题代数方程的三对角阵算法
1.一维导热问题代数方程通用形式 2.Thomas算法 3.第一类边界条件的处理
4.4.2 求解多维非稳态导热全隐格式的ADI方法
1.求解方法概述 2. Peaceman-Rachford的ADI迭代
3/60
4.4 求解代数方程的TDMA及ADI 方法 4.4.1 求解一维导热问题代数方程的三对角阵算法 1. 一维导热问题代数方程通用形式 稳态及非稳态隐式 （f>0)都要联立求解一 组代数方程： 每行三个未知数
aPTP aETE aW TW b
其系数矩阵是一三对角阵 (Tri-diagonal matrix )。
12/60
将 t 三等分：
设 ui,j,k, vi,j,k为两个中间子时层上的值；
T
2 n x i , j ,k
表示n时层x方向二阶导数的中心差分；
第一个 子时层：
ui , j ,k Ti ,nj ,k t / 3
n i, j,k
a ( x2ui , j ,k y2Ti ,nj ,k z2Ti ,nj ,k )
17/60
复杂的充分发展对流换热举例
18/60
4.5.2 能实现充分发展对流换热的边界条件 1. 轴向、周向均为均匀壁温：Tw＝Const 2. 轴向均匀热流密度、周向均匀壁温： qx＝Const， Tw=f(x) 3.轴向、周向均为均匀热流密度：q=Const 4.轴向热流密度呈指数规律变化：qx=C1eC2x R K Shah与A L London的专著有详细讨论。
T1 PT 1 2 Q1
P 1 0;
Q1 T1
因TM1已知，消元从M2开始：
TM 2 PM 2TM 1 Q2
注意：采用附加源项法来处理第二类，第三类边 界条件时，均将第二类，第三类边界条件问题视为第 一类边界条件问题，数学上的处理与此相同。
9/60
4.4 求解代数方程的TDMA及ADI 方法
T T 1 T T c p (u v ) ( r ) ( ) ST x r r r r x x
速度已经 充分发展 （6）
不计轴 向导热 （2）
不计黏 性耗散 （3）
T 1 T ( r ) c pu x r r r
二维抛物型方程！

29/60
1.简化假设 (1)常物性； (2)不计流体中的轴向导热； (3)不计流体中的黏性耗散； (4)不计自然对流； (5)管壁热阻略而不计； (6) 流体速度已经充分发展：
u r 2 2[1 ( ) ]; um R
v0
30/60
2.数学描写 （1）温度场方程 不计自然对流（4），温度场轴对称，圆柱坐标系：
Bi Di Ci Qi 1 )Ti 1 Ti ( Ai Ci Pi 1 Ai Ci Pi 1
对照 Ti 1
Pi 1Ti

Qi 1
6/60
Bi ; Pi Ai Ci Pi 1
Di Ci Qi 1 Qi ; Ai Ci Pi 1
上式特点：数学上是递归的（recurrent)－首先 必须知道P1，Q1。 为此，试重新审视式(a) (a) AT i i BiTi 1 CiTi 1 Di , i 1, 2,.....M 1 端点条件：i=1, Ci=0; i＝M1, Bi＝0 如果将(a)式用于i=1,则立即可得出i=1 时两点上 未知量的关系式，将它与(b) 相比就能得出P1，Q1。
16/60
平直通道中的充分发 展对流换热属于这一类。
Tw,m T ( )0 x Tw,m Tb
2. 复杂的充分发展对流换热 在垂直于主流方向的截面上仍然存在速度分量， 无量纲温度与主流方向坐标有关，常呈现周期性变化， 数学上必须求解完全的Navier-Stokes 方程。 本课程第十一章以及程序例题中讨论。
1 d d 1 u ( ) ( ) 2 um d d
边界条件也是齐次的
d 0, 0; d源自d ) 1 Bi w d
36/60
上述数学描述的解存在可任意乘一个常数的不确定性。
从已知条件的角度，在方程中的特征值 还有待于 确定，才能进行求解。 为获得唯一解，并确定特征值需要一个附加条件。 试从能量平衡角度来审视。
24/60
25/60
26/60
27/60
4.6 圆管内充分发展的对流换热 4.6.1. 物理与数学模型 4.6.2. 控制方程的无量纲化 4.6.3. 单值性条件分析 4.6.4. 数值求解方法 4.6.5. 数值求解结果的处理 4.6.6. 求解结果的分析与讨论
28/60
4.6圆管内充分发展的对流换热 4.6.1. 物理与数学模型 温度为Tf 的流体进入一长圆管，作层流流动。管 外受到温度为 T 的流体的冷却（加热），试确定换热 进入充分发展阶段时的Nu 数。
0
仅与X有关
仅与有关