2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题学案练习“三招五法”轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论f(x)=,如果函数】【一中【例12018届一轮第一次检测】已知函数．m的取值范围为_____）恰有两个零点，那么实数f（x【答案】【解析】0，和4的零点个数即可得出结论．的大小关系逐一判断分析：根据与-2，在上无零点，个零点若0，则在上有2符合题意；或．∴．故答案为：【指点迷津】1 / 20．1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．上的函数可以月月考】已知定义在【举一反三】【扬州中学2019届高三10与一个奇函数表示为一个偶函数之和，设无实根，则实数的取值范围是若方程_________【答案】【解析】=t+2mt+m﹣m+1∴p（t）22，（t）+m﹣m+1+2mp（p（pt））=[p（t）]22m+1①无实根，（[p（t）]+2mpt）22．+m﹣=0p若p（（t））无实根，即22）．（m﹣1）（方程①的判别式△=4m﹣4m﹣m+1=4 1时，方程①无实根．＜1°当方程①的判别式△＜0，即m 时，2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1方程①有两个实根，②，即只要方程②无实根，故其判别式，③，且即得④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．2 / 20．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合若关于2018，函数年天津卷理】已知的方【例2】【个互异的实数解，则的取值范围是程______________.恰有2【答案】【解析】分析：由题意分类讨论两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可和求得最终结果.令，，其中有两个不同的交点，求的取值范围原问题等价于函数与函数.的图象，结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，的取值范围是观察可得，实数结合.3 / 20．【指点迷津】xhxgxf的零点个数，等价于方程(())1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数－(＝)yhxxgxhxg＝(的解的个数，进而转化为基本初等函数)＝0的解的个数，亦即())(＝)－(xhygx ((的图象的交点个数．)与＝)先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一2.的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点是转化为两个函数的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问.题．交点的横坐标即零点，若函数卷】已知函数【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB____．有三个零点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即）﹣3xx|f分析：求出函数（可．4 / 20．6；＞6，可得b＜﹣当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b20]∈（﹣，当x≤，x=时取得最大值，满足条件的b．x当0≤x≤4时，﹣.综上，范围是. 故答案为：“第三招”分离参数类型三上的偶函数，且月调研】已知函数10是定义在2019【例3】【届的取值范围是 6 有，若函数个零点，则实数（）BA．．5 / 20． DC．．D 【答案】【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），=＜0，且当x→+∞，f（x）（x）→0， f②当x≥2时，=，x∵f′（）==0，解得x=3，令f′（x）当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，﹣，）= 3∴f（x）=f（min﹣，0），）在[2，+∞）上的值域为[ f故（x∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m＜0时，当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，6 / 20．有六个零点，x）﹣m（x）=f（＜故当﹣m＜0时，函数FD. 故选【指点迷津】解决；1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以，则原函数的零点问题化归为与l(a)g(x)＝2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成的图象的交点问题．和函数g(x)x轴平行的直线y＝l(a)2,x?2?x,??f{x?函数年天津卷理】已知函数【举一反三】【20152??2x,x?2,?????????bb?R xx?b?f?2xfg?y?gx的取值4，其中个零点，则恰有，若函数）范围是（7777????????2,????,0,,．． DA． B． C????????4444????????D 【答案】“三招五法”一题多解类型四7 / 20．32xfxfxaxx ，且()＝存在唯一的零点－3)＋【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数1(，若0xa 的取值范围为( ＞0，则)A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2) D ．(C ．(1，＋∞) －∞，－1)B 【答案】 【解析】 单调性法：利用函数的单调性求解法一2xxaxaf )＝36由已知得，－≠0，′(，2. 令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝a 22），f ′(x)<0；x ∈（，＋∞），当a>0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x)>0；x ∈（0， aa 22，＋∞上单调递增，在（0，(－∞，0)和）上单调递减，f ′(x)>0.所以函数f(x)在 aa 且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意． 22），f ′(x)<0；x ∈（，0），f ′(x)>0；a<0当时，x ∈（－∞，x ∈(0，＋∞)， aa 22）和(0，＋∞)上单调递减，在（，0）上单调递f ′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞， aa 22增，所以要使f(x)有唯一的零点x 且x>0－）>0，即a>4，解得a<2. ，只需f （00a法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解3232xhgaxfxxxaxx 的图象存在唯一－3＝问题转化为－1.3()＝1的图象与(＝)0令()＝，得 的交点，且交点横坐标大于零．xhgax 的图象存在两个的交点；()时，函数当＝0()的图象与a 当>0时，如图所示，不合题意；(1)8 / 20．32ahxxgaxax 的1)时，由图(2)知，可先求出函数＝(3)＝的图象有公切线时与－(当<0axagxhxxhg22.由图形可知当)＝时，满足题意．(<)值．由′(，得)＝－′()，＝－(法四分离参数法：参变分离，化繁为简.3131g(x－a＝)＝－xxf，≠0，令，记()＝0，则易知33xxxx2?1)?3(x33'g(x)????gx)在(－∞，－1)和(1，可知，＋∞)上单调递减，在(432xxx gy＝，画出函数大致图象如图所示，平移直线1)＝－上单调递增，且1,0)和(0,1)2(－－(aa<－，结合图象，可知2.【指点迷津】fxx∈(0，＋∞)，因此可利本题的实质是函数1.用其代数特征转化为()存在唯一的零点0方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.9 / 20．2x?1?x?1)e(ef(x)?x??2x?a有唯一零】已知函数3课标，理11【举一反三】【2017a=点，则111?CBA．．．232D． 1C【答案】【解析】??1x?2x?1?ee?2x??ax?，方法一：函数的零点满足??1x2??11e????1?1?x?x1?x?1x?x?1?e?x?ge?eg?ex??e?，设，则1?xx?1ee????????1?x?1x xgxg?0?g0x单调递减，时，时，当，当，函数?????1x?xg?0xg时，单调递增，，函数当??1x??g21，当时，函数取得最小值??21?x x?x?h2x1?，时，函数取得最小值设，当2x－1－x＋1)＝0＋a(eex－2x＋xf有解，方法二：由函数)(有零点，得－x1＋1x2－)＝＋e0a1(x－)－＋1(e有解，即2t－t t＝x－1t－＋1a(e＋e)＝0，，则上式可化为令2t1?a＝. 即?tt e?e2t?1h(t)＝ht)为偶函数，，易得 (令?tt e?e fxhtya有唯一交点，则此交点的横坐标为的图象与直线＝有唯一零点得函数又由()()0，10 / 20．110?＝a＝C. ，故选所以22??2x＋1x－1－.(?ae＋2)＋e＝－fxxx＝0方法三：由1x＋1x－1－x－1－x＋1x?2ee?＋e2＝?e时取“＝”．，当且仅当221?x1?(x－1)1＋－x＝－＋2x时取“＝”．，当且仅当1－x＋x－1a)?＋a(ee2a >0，则若，1＝a1＝2a xf. )(有唯一零点，则必有，即要使2xfa 若)≤0，则(的零点不唯一．1＝a. 综上所述，2三．强化训练g．若I 卷理】已知函数 20181．【年新课标（x）存在2的取值范围是个零点，则a 1 [ C [0 B01 [A．–，）．，+∞）．–，+∞） [1 D．，+∞）C 【答案】【解析】11 / 20．，若函数月调研】已知函数【高级中学2019届82.）有两个零点，则实数的取值范围是（． D．A． B． CD 【答案】【解析】有两个零点，若函数的图象与则函数有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象如下：的图象与12 / 20．的方程年仿真模拟（十）】已知函数3.【2018，若关于个不等的实数根），则的取值范围是（有8． C． D BA．．D 【答案】【解析】绘制函数的图象如图所示，上有两个不同的实数根，令，由题意可知，方程在区间，由题意可知：令.，据此可得：.的取值范围是即.本题选择选项D13 / 20．的定义域为实数集卷】函数2019届同步单元双基双测AB4．【函若在区间,都有,,对于任意的）恰有三个不同的零点数,的取值范围是（则实数B． D C．．A ．D 【答案】【解析】14 / 20．，，结合图象得：﹣﹣，K=K由=BCAC，∈m故选：，且当5.【高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足取值范围是上有零点，则实数的时，，若函数a在（）B． A．．． C DB 【答案】【解析】，因为当时，15 / 20．所以时，．，此时所以，故上的图象如图，要使函数在所以上有零点，只要直线在与的图象有交点，由图象可得，的取值范围是上有零点，则实数所以使函数．在．故选：B若互不相等的实数10月联考】设函数届6.【皖中名校联盟2019）满足的取值范围是（则D．．A B C．．B 【答案】【解析】，的图像如图所示，不妨设16 / 20．届仿真（三）】函数2018，关于方程7.【舒城中学有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )B．A． D．C．【答案】D【解析】，即当时，则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，17 / 20．，此时另一个根为解得，满足条件时，则满足②根不是即综上所述，故实数的取值范围为故选，若和8.【双流中学2018届一模】对于函数，设与，都有互为“零点相邻函数”.，则称和所有的）互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ D．． C ． A． BD 【答案】【解析】时，不等式=2f(x)=，当λ∈．【92018年浙江卷】已知λR，函数的取值范围是λ个零点，则．若函数___________f(x)恰有2的解集是f(x)<0 ．___________【答案】 (1,4)18 / 20．【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.，即或或详解：由题意得，所以，不等式f(x)<0的解集是上有两个零，此时当时，，即在上只能有一个零点得在，由时，点；当.综上，.的取值范围为，定义函数【定远重点中学2019届第一次月考】函数10.，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；时，函数有4个零点．a④当＞0其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】19 /20．成立．故③正确?F(n)<0∴F(m)，且函数对于④，由于， (0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，函数在，F(x)的最小值为F(1)=1时，∴当x>0 个交点，有2时，函数∴当x>0F(x)的图象与y=2 F(x)是偶函数，又函数个交点，y=2也有2的图象与∴当x<0时，函数F(x) 画出图象如下图：4个零点．所以④正确．有?时，函数故当a>0y=F(x)2 综上可得②③④正确．20 / 20．。