Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ １ ２ ３ ４＋ １ ２ ４＋ ２ ３ ４ ５＋ ２ ４ ５－ ３ ４ ６－ ２ ４ ６ ２ ｓ ）＝ Φ（ １－ Ｇ Ｈ ＋ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ＋ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ２ ２ １ ２ ３ ４ １ １ ２ ４ １ 【 例６ 】 已知系统结构图， 求 Ｃ （ ｓ ） ＝ ？ ） Ｒ （ Ｓ
西北工业大学 ８ ２ １自动控制原理重难点解析篇
第 １讲 控制系统的数学模型
拉普拉斯变换有关内容 拉氏变换的几个重要定理 （ １ ） 线性性质 Ｌ ［ ａ ｆ （ ｔ ）± ｂ ｆ （ ｔ ） ］＝ ａ Ｆ （ ｓ ）± ｂ Ｆ （ ｓ ） １ ２ １ ２ （ ２ ） 微分定理 Ｌ ［ ｆ ′ （ ｔ ） ］＝ ｓ ·Ｆ （ ｓ ）－ ｆ （ ０ ）
２ ｔ ／ ２ － ａ ｔ ｅ
１ １ ／ ｓ
２ １ ／ ｓ ３ １ ／ ｓ
１ ／ （ ｓ ＋ ａ ）
２ ２ ／ （ ｓ ＋ ω ω） ２ ２ ｓ ／ （ ｓ ＋ ω）
ｓ ｉ ｎ ｔ ω ｃ ｏ ｓ ｔ ω
线性定常微分方程求解 【 例１ 】 Ｒ－ Ｃ电路计算 ｕ Ｒ ｉ ＋ ｕ ｒ＝ ｃ
· ｉ ＝ ｃ ｕ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ ·１ （ ｔ ） ｃ ｒ ０
考试点（ ｗ ｗ ｗ ． ｋ ａ ｏ ｓ ｈ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ ． ｃ ｏ ｍ ） 名师精品课程 电话： ４ ０ ０ ６ ８ ８ ５ ３ ６ ５
其中初条件引起的自由响应部分 Ｃ Ｃ － ４１ １ １ － （ ｓ ＋ ５ ） １ ２ Ｃ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ｓ ）＝ ０ ） ｓ ＋ １ ｓ ＋ ４ ３ｓ ＋ １ ３ｓ ＋ ４ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４
Ｃ ｉ ｍ １ ＝ｌ
ｓ １ →－
－ （ ｓ ＋ ５ ） － ４ － （ ｓ ＋ ５ ） １ ＝ Ｃ ｉ ｍ ＝ ２ ＝ｌ ｓ ４ ｓ ｓ ３ ＋ ４ ３ ＋ １ →－
增益
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２× ２ ＝ １ （ ２ ） Ｋ＝ ４ （ ３ ）
{
－ ｔ １ ｅ λ １ ＝－ － ４ ｔ ｅ ４ λ ２ ＝－
{
（ ４ ） 如图所示
－ １ － １ （ ５ ） ｋ （ ｔ ）＝ Ｌ ［ Ｇ （ ｓ ） ］＝ Ｌ
Ｃ Ｃ ２ （ ｓ ＋ ２ ） ＋ [ （ｓ＋ ] ＝Ｌ [ ｓ ] ） １ ） （ ｓ ＋ ４ ＋ １ ｓ ＋ ４
解： 本结构图有 ２条前向通道， ６个回路（ 其中 Ｉ ， Ｖ两回路不相交） １－ ｛－ Ｈ－ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ （－ Ｇ ）－ ［－ （－ Ｇ ） ］ ｝＋ ［－ （－ Ｇ ） ］ ·（－ Ｈ ） Δ＝ ２－ １－ １ ２－ ３ ３ ３ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ＝ １＋ Ｈ＋ Ｇ ２＋ １＋ １ ２－ ３ ｐ Ｇ Ｇ ； Δ １ １＝ １ ２ １＝ — ５—
－ ｔ
－ ４ ｔ
２ （ ｓ ＋ ２ ） ２ ｓ ＋ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ （ ｓ ） ｓ ） ＋ ５ ｓ ＋ ４ Ｒ
２ ＋ ５ ｓ ＋ ４ ） Ｃ （ ｓ ）＝ （ ２ ｓ ＋ ４ ） Ｒ （ ｓ ） （ ｓ － １ Ｌ ： ｃ＋ ５ ｃ ＋ ４ ｃ ＝ ２ ｒ ＋ ４ ｒ ２ （ ７ ） Ｌ ： ［ ｓ Ｃ （ ｓ ）－ ｓ ｃ （ ０ ）－ｃ （ ０ ） ］ · · · · ·
ｓ →０
Ｆ （ ｓ ）＝
ｆ （ ｔ ） ·ｅ ｄ ｔ ∫
－ ｔ ｓ ０
∞
３ ． 常见函数 Ｌ 变换 ｆ （ ｔ ） Ｆ （ ｓ ） （ １ ） 单位脉冲 （ ２ ） 单位阶跃 （ ３ ） 单位斜坡 （ ４ ） 单位加速度 （ ５ ） 指数函数 （ ６ ） 正弦函数 （ ７ ） 余弦函数 （ ｔ ） δ １ （ ｔ ） ｔ
－ ·ｓ τ ０ Ｌ ［ ｆ （ ｔ － ） ］＝ ｅ ·Ｆ （ ｓ ） τ ０ Ａ ·ｔ ｆ （ ｔ ） ］＝ Ｆ （ ｓ － Ａ ） Ｌ ［ ｅ
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｔ ）＝ｌ ｉ ｍ Ｓ ·Ｆ （ ｓ ）
ｔ →０ ｓ →∞ ｔ →∞
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｔ ）＝ ｌ ｉ ｍ ｓ ·Ｆ （ ｓ ） （ 终值确实存在时）
ｃ （ ｔ ）＝ ０
－ ４ －ｔ １ －４ ｅ ＋ ｅｔ ３ ３
２ －ｔ １ －４ ４ －ｔ １ －４ － ｔ － ｅｔ － ｅ － ｅｔ ＝ ｃ （ ｔ ）＝ ｃ （ ｔ ）＋ ｃ （ ｔ ）＝ １－ ｅ １－ ２ ｅ ｒ ０ ３ ３ ３ ３
(
) (
)
— ３—
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控制系统结构图
ｓ
— ４—
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解： １－ ［ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ］＋ （－ Ｇ Ｇ Ｈ ） （－ Ｇ Ｇ Ｈ ） Δ＝ ２ ３ ２－ ４ ５ ３－ ３ ４ ４－ １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ２ ４ ５ ３ ＝ １＋ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｈ ２ ３ ２＋ ４ ５ ３＋ ３ ４ ４＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＋ ２ ３ ４ ５ ２ ３ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Δ １ １＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＝ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｓ ）＝ Φ（ １＋ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｈ ２ ３ ２＋ ４ ５ ３＋ ３ ４ ４＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＋ ２ ３ ４ ５ ２ ３ 【 例５ 】 求传递函数 Ｃ （ ｓ ） ／ Ｒ （ ｓ ）（ 前向通道隐藏）
控制系统结构图
１－ ［ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ］ Δ＝ ２ ２－ １ ２ ３ ４ １－ １ ２ ４ １ ＝ １－ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ２ ２＋ １ ２ ３ ４ １＋ １ ２ ４ １ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Δ １ １＝ １ ２ ３ ４ １＝ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ２＝ １ ２ ４ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ ３＝ ２ ３ ４ ５ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ４＝ ２ ４ ５ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ５ ＝－ ３ ４ ６ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｐ ６ ＝－ ６ ２ ２ ４ １ Δ ２＝ １ Δ ３＝ １ Δ ４＝ １ Δ ５＝ １ Δ ６＝
＋ ５ ［ ｓ Ｃ （ ｓ ）－ ｃ （ ０ ） ］＋ ［ ４ Ｃ （ ｓ ） ］
２ ＋ ５ ｓ ＋ ４ ） Ｃ （ ｓ ）－ （ ｓ ＋ ５ ） ｃ （ ０ ）－ｃ （ ０ ）＝ ２ （ ｓ ＋ ２ ） Ｒ （ ｓ ） （ ｓ ２ ｓ ＋ ５ － ｓ － ３ ｓ ＋ ４ ２ （ ｓ ＋ ２ ） １ · －２ ＝ Ｃ （ ｓ ）＝ ２ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ ） ５ ｓ ＋ ４ ｓ ｓ＋ ５ ｓ ＋ ４ ｓ ｓ＋ ·
Ｅ ０ · Ｒ Ｃｕ ｕ Ｕ （ ｓ ）＝ ｕ ｒ＝ ｃ＋ ｃ ｒ ｓ
— １—
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· Ｒ Ｃｕ ｕ ｕ ｃ＝ ｒ ｃ＋
Ｒ Ｃ ［ ｓ Ｕ （ ｓ ）－ ｕ （ ０ ） ］＋ Ｕ （ ｓ ）＝ Ｕ （ ｓ ） ｃ ｃ ｃ ｒ （ Ｒ Ｃ ｓ ＋ １ ） Ｕ （ ｓ ）＝ Ｕ （ ｓ ）＋ Ｒ Ｃ Ｕ （ ０ ） ｃ ｒ ｃ Ｅ Ｒ Ｃ ０／ Ｃ ＝ Ｃ ｕ Ｅ Ｒ Ｃ ｕ ｕ （ ｓ ） Ｒ （ ０ ） （ ０ ） ｉ ｍ ｓ ＝ Ｅ ｒ ｃ ０ ｃ ０ ｌ ０ ＋ ＝ ＋ （ ｓ ） ＝ Ｕ Ｓ ０ １ → ｃ Ｒ Ｃ ｓ Ｃ ｓ Ｃ ｓ ＋ １ Ｒ ＋ １ ｓ （ Ｒ Ｃ １ ） Ｒ ＋ １ ｓ （ ｓ ＋ ） ｓ＋ Ｒ Ｃ Ｅ Ｃ Ｒ Ｃ ｕ （ ０ ） Ｃ （ ０ ） ｕ ０／ ０ ０ １ ０ Ｒ Ｃ １ Ｅ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ０／ Ｃ ＝ｌ ｉ ｍ（ ｓ ＋ ） ＝－ Ｅ １ １ ｓ １ １ １ ０ － １ Ｒ Ｃ １ ｓ （ ｓ ＋ ） Ｓ ＋ ｓ ＋ ｓ ＋ ｓ →Ｒ ｓ （ ｓ ＋ ） Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｅ （ ０ ） Ｅ ｕ ０ ０ ｃ Ｕ （ ｓ ）＝ － ＋ ｃ ｓ １ １ ｓ ＋ ｓ ＋ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ
Ｌ ∑Ｌ ｂ ｃ — 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 Ｌ Ｌ — 互不接触回路中， 每次取其中三个的回路增益乘积之和 Ｌ ｄ ｅ ｆ Δ ｋ 特征式 Ｍ ａ ｓ ｏ ｎ公式（ １ ） 【 例４ 】 求传递函数 Ｃ （ ｓ ） ／ Ｒ （ ｓ ） —第ｋ 条前向通路的余子式（ 把与第 ｋ 条前向通路接触的回路去除， 剩余回路构成的子
ｔ － ｔ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ Ｅ ｅ ＋ ｕ （ ０ ） ·ｅ ｃ ０－ ０ ｃ － ｔ Ｒ Ｃ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ ［ Ｅ ｕ （ ０ ） ］ ·ｅ ｃ ０－ ０－ ｃ
１ １ １
控制系统的复域模型—传递函数 ４ ｓ － ４ 【 例２ 】 已知 Ｇ （ ｓ ）＝ ３ ２ ｓ＋ ３ ｓ＋ ２ ｓ 将其化为首 １ 、 尾 １标准型， 并确定其增益。 ４ （ ｓ － １ ） ４ （ ｓ － １ ） 首 １标准型 解 Ｇ （ ｓ ）＝ ３ ＝ ２ ） （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ２ ｓ＋ ３ ｓ ＋ ２ ｓｓ ４ Ｇ （ ｓ ）＝ · ２ Ｋ＝ ２ 【 例３ 】 已知某系统在 ０初条件下的单位阶跃响应为： ２ －ｔ １ －４ － ｅｔ ｃ （ ｔ ）＝ １－ ｅ ３ ３ 试求： （ １ ）系统的传递函数； （ ２ ）系统的增益； （ ３ ）系统的特征根及相应的模态； （ ４ ）画出对应的零极点图； （ ５ ）求系统的单位脉冲响应； （ ６ ）求系统微分方程； （ ７ ）当 ｃ （ ０ ）＝－ １ ，ｃ ’ （ ０ ）＝ ０ ；ｒ （ ｔ ）＝ １ （ ｔ ）时， 求系统的响应。 １ ２ １ １ １ ２ （ ｓ ＋ ２ ） 解 （ １ ） Ｃ （ ｓ ）＝ － · － · ＝ ｓ ３ Ｓ ＋ １ ３ ｓ ＋ ４ ｓ ） （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ Ｃ （ ｓ ） Ｃ （ Ｓ ） ２ （ ｓ ＋ ２ ） Ｇ （ ｓ ）＝ ＝ ＝ ｓ ·Ｇ （ ｓ ）＝ Ｒ （ ｓ ） １ ／ ｓ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ ） — ２— ｓ － １ （ ｓ － １ ） ＝ ２ · １２ ３ １ ｓ （ ｓ＋ ｓ ＋ １ ＋ １ ） （ ｓ ＋ １ ） ｓ （ ｓ ） ２ ２ ２ 尾 １标准型