第一章小结
本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：
一、 基本概念
⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩子集--相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射预备知识双射映射变换代数运算
等价关系与分类 ),,,,)
Abel a b G ab ba a b G ab ba G G n G G n ⎧∀∈=⎧⎪⎨∃∈≠⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎨⎪=∞⎪⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩交换群（阿贝尔群（有）非交换群（，使群定义有限群—阶无限群—阶子群子群正规子群群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂同态存在保运算的映射两个群的关系同构存在⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
保运算的一一映射 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数 .
二、主要结论
1.群的基本性质： 1）——5），定理1.
2.1，1.2.2；
2.元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.4
3．子群的判别条件（重点）
为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是:
(1) 任给, 有，任给, 有.
（2）任给, 有.
（3）任给, 有（只适合有限子集）
子群的性质：子群的交集仍是子群
4．陪集、商群性质
设是的子群, 则
（1）aH=Ha=H当且仅当 a∈H
（2）当且仅当, ;
（3）当且仅当, ;
（4）的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并.
（5）(拉格朗日定理)有限群的任一子群的阶数是群的阶数的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群的任一元素a 的阶都是群的阶数的因子.即|a|||G|
（7）设为有限群. , 则对任意的, .
5. 正规（不变）子群的判别条件
N是群的子群，则N是G的不变子群的充要条件是
（1）任意的, 都有 aN=Na
（2）, ;
（3）, , .
6. 变换群、置换群、循环群的结论
（1）一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。

(2)(凯莱定理) 任一群都同构于一个变换群.
推论：任一个有限群都同构于一个置换群.
(3)个元素的全体置换关于置换的乘法构成群.
(4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换(循环置换)的乘积
(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.
(6)每一置换都可表为若干个对换的乘积
(7)设为群, , 则|a|=|a-1|
（8）设为群, ,ΙaΙ=n且, 则.
（9）设为群, , 如果|a|=n,则|a r|=n/d (d=(r,n))
（10）设为阶循环群, . 则为的生成元的充分必要条件是
（11）循环群必是交换群.
（12）循环群的子群必是循环群
（13）设为循环群, 且G=（a）则
如果, 则;
如果, 则
7. 同态、同构性质
(1)设G是一个群，G是一个非空集合，若G与G对于它们的乘法来说同态，则G也是一个群
(2)定理1.8.2 设与G是群, 是到G的同态映满射.
1) 如果是的单位元, 则是G的单位元;
2) 对于任意的, 是在G中的逆元. 即
(3) 定理1.8.3-----满射、单射的条件
(4) 定理1.8.4——同态映射保子群、正规子群.
(5) 定理1.8.5------同态基本定理
三、基本方法与题型
1、群的判别----定义法
2、子群的判别方法（四种方法）：定义法；定理1；定理2；定理3（有限）；
3、正规子群的判别方法（四种方法）：定义法；定理1）-3）；
4、求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）
1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。

5、求正规子群方法：1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）
6、求陪集：定义法
7、求商群方法：按定义
8、计算置换的乘积、逆、阶----定义方法
9、把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积
10、求元素的阶：1）定义方法 2）有关性质
11、判别循环群方法：定义法
12、同态、同构映射的判断：定义方法
13、群同态、同构的证明：构造同态或同构映射
14. 单、满、双射的判断----定义法
15.等价关系的判断----定义法，传递性。