❖ 时域离散系统的描述方法：
单位采样响应 线性常系数差分方程
思考：线性常系数差分方程描述的系统是 否一定线性时不变？
例1.4.3 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1， 试分析该系统是否是线性非时变系统。
解: 如果系统具有线性非时变性质，必须满足 (1.3.4) 和 (1.3.5) 两 式 。 设 输 入 信 号 x1(n)=δ(n),x2(n)=δ(n-1),x3(n)=δ(n)+δ(n-1)来 检验系统是否是线性非时变系统。
数字信号处理课件
第1章
上节内容回顾
❖ 时域离散系统性质
线性性 时不变性
❖ 线性时不变系统输入与输出之间的关系
❖ 线性时不变系统的性质
本节主要内容
❖ 线性常系数差分方程
❖ 模拟信号的数字处理方法
时域采样定理
1-4 时域离散系统的差分方程描述
1.4.1 差分方程描述
*表示法
M
N
y(n) bk x(n k ) ak y(n k )
由情况(1)和情况(2)，得到
y1(n)=T［δ(n)］ y2(n)=T［δ(n-1)］ y2(n)≠y1(n-1) 因此该系统不是时不变系统。再由情
况(3)得到
y3(n) =T［δ(n)+δ(n-1)］ ≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］
y3(n)≠y1(n)+y2(n)
❖ 注： 线性常系数差分方程描述的系统不一定都是 线性时不变的，与初始条件有关。
h(-2)=-a-2
h(n-1)=a-1h(-n+1)+ 0= -an-1 写成一般形式为 h(n)= -anu(-n-1) 为非因果系统
说明：
• 对于相同的差分方程和输入，当初始条件不 同时，得到的输出信号不同。
• 一个常系数线性差分方程是否因果系统，由 边界条件（初始）所决定。
➢ 当初始条件具有y(n)=0(n<0)的形式，且 有初始条件向n>0方向递推，其解一般为因 果的，反之为非因果。
y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2 y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a y2(n)=(1+ a2)a n-1 y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
(3) x3(n)=δ(n)+δ(n-1); y3(-1)=1 y3(n)=a y3(n-1)+δ(n)+δ(n-1) n=0时，n=1时，n=2时， …n=n时，
由频域卷积定理得
Xˆ a (
j)
F
xa (t)
P(t)
1
2
Xa(
j)
P(
j)
其中
X a ( j) F xa (t)
xa
(t )e
jt dt
P( j) F[P(t)] s ( ks)
k
^
将Xa(jΩ)和P(jΩ)带入 X a ( j式) 中，得
Xˆ a (
j)
1
2
[s
xa(t)
最高频率为fc
0
t
P(t)
0
t
T
xˆa (t)
2T
0
t
T
理想采样过程示意图
采样信号与原模拟信号在时域的关系
用P(t)表示冲击函数串P(t)= (t nT ) n 则 xˆa (t) xa (t) P(t)
xa (t) (t nT ) m
xa (nT ) (t nT ) m
xa(t)为调制信号即输入的模拟信号， p(t)为 载波信号是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲
串，调制后输出的信号就是采样信号 xˆa (t)。
理想采样：当 τ 趋于零的极限情况时， 脉冲 序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想采样。
xa (t)
S
xˆa (t)
T
xˆa (t) xa (t) P (t)
1.5.1 时域采样定理
采样是将连续时间信号离散化的过程， 它仅抽取信号波形某些时刻的样值。
采样分为均匀抽样和非均匀采样，当 采样是取均匀等间隔点时为均匀采样，否 则为非均匀采样。
1. 理想采样及其频谱
采样过程：均匀采样可以看作为一个脉冲调制过
程，数学表示为 xˆa (t) xa (t) p(t) 。
因此 xˆa (t) 实际上是xa(t)在离散时刻nT的 取值xa(nT)的集合。
(2) 采样信号xˆa (t) 的频谱
设模拟信号xa(t) ,冲击函数串P(t),采样脉冲
串以及采样信号 xˆa (t)的傅里叶变换分别为
X a ( j) F xa (t) P( j) F[P(t)]
Xˆ a j F xˆa t 其中F[•]表示傅里叶变换
当系统因果时，此时一定是线性时不变的。
1-5 模拟信号的数字处理方法
本节主要介绍模拟信号与数字信号 之间相互转换的基本数学原理。
为了利用数字系统来处理模拟信号， 必须先将模拟信号转换成数字信号，在数 字系统中进行处理后再转换成模拟信号。 其典型框图如下：
xa(t)
ya(t)
注：
❖ 本节重点与难点为时域采样定理其推导 过程以及物理意义。
y3(0)=a y3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a y3(1)=a y3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2 y3(2)=a y3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+ a2)a y3(n)=(+a+ a2)a n-1 y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)δ(n)
k 0
k 1
N
M
ak y(n k ) bk x(n k ), a0 1
k 0
k 0
例 1-4-2 试求一阶差分方程y(n)= ay(n-1) +x(n) 的单位脉冲响应，初始条件为y(n)=0(n>0)。
解： h(n-1)=a-1 (h(n)-δ(n)) h(1)=0
h(0)= a-1 (h(1)-δ(1))=0 h(-1)=a-1 (h(0)-δ(0))=-a-1
m
(
ks )
Xa(
j)]
1 T
X a ( j )
(1)x1(n)=δ(n)，y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
这种情况和例1.4.1(2)相同，因此输出如下 式：
y1(n)=(1+a)anu(n)
(2) x2(n)=δ(n-1)，y2(-1)=1 y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1) n=0时，n=1时，n=2时， …n=n时，