北京市丰台区2014届高三数学上学期期末考试试题-理丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 已知命题p: ∀21xx >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21xx >,22x≤12x（C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21xx >,22x<12x4. 过双曲线221916x y 的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是（A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±-（C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+ 5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的 面积是（A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB 等于 （A ）1 （B ）3 （C ）2（D ）237.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+ （D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱βθα被与其底面所成角为θ（0090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o时，这个椭圆的离心率为（A ）12（B ）32 （C ）33 （D ）23第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知等差数列{}na 满足3412aa +=, 253aa =，那么na =___________.10. 甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试，右图为依据他们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断：在甲、乙两位同学中，成绩较稳定的是_______ 同学（填“甲”或“乙”）.11.二项式61(2+)x x展开式中的常数项为 _________.12.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为____.13．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是____.14.若()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中a b c≤≤的，对于下列结论：①()0f b ≤； ②若2a cb +=，则,()()x R f x f b ∀∈≥；③若2a cb +≤，则()()f a fc ≤；④()()f a f c =成立充要条件为0b =.其中正确的是_________.(请填写序号) 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. （本小题共13分）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知22ab bc-=，sin 2sin C B =.（Ⅰ）若b=2，求c ； （Ⅱ）求∠A 的大小. 16.（本小题共14分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的一点，∠BAC=45°，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=VC，E是AC的中点.（Ⅰ）求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）求证：VO⊥面ABC；（Ⅲ）已知θ是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°θ<<90°,若OA=OV=1，求cosθ的值．17. （本小题共13分）某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号．已知甲、乙、丙三个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号．目前该小区提供的房源数量如下表所示：单元号一单元二单元三单元3 3 4房源数量（套）（Ⅰ）求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率． 18. （本小题共14分）已知函数()()ln f x x a x =-，()f x 的导函数为'()f x . （Ⅰ）当a =0时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）设21()+-'()(1)2g x x ax f x a =>-，求函数()g x 的单调区间.19.（本小题共13分） 已知抛物线C ：22ypx=(0p >)的焦点为F （1,0），点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O的两点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为12-,求证：直线AB 过定点．20. （本小题共13分）已知数列{}na 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列{}na 的排序数列，例如：数列123,,a a a 满足231a a a <<，则排序数列为2，3，1.（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列； （Ⅱ）求证：数列{}na 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}na 为单调数列；（Ⅲ）若数列{}na 的排序数列仍为{}na ，那么是否一定存在一项ka k=，证明你的结论.2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末数学(理科)试题答案一、 选择题 ACBB ACDA 二、 填空题9. 2n-1 10.乙 11. 160 12.13. 40 14.①②③分注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若给出④均不得分. 三、 解答题15.解：（Ⅰ）在△ABC 中sin sin c bC B,∴sin sin C bB c=.--------------------------2分∵sin 2sin C B=,∴sin 2sin CB=,-----------------------------------2分∴2c b=,--------------------------------------------------------5分∴c=4 .-------------------------------------------- -------6分（Ⅱ）在△ABC 中，222cos 2b c a A bc+-=，--------------------------------8分∵22a b bc-=，∴2cos 2c bcA bc-=.-------------------------------10分∵2c b=，∴222421cos 42b b A b -==.-------------------------------12分∴A=.------------------------------------60o-------------------13分16. （Ⅰ）证明：O,E分别是AB和AC的中点，∴OE ∥BC .--------------2分又⊄BC面OE面VBC, ⊂VBC.----------------------------3分∴OE面VBC.//-----------------------------------------4分（Ⅱ）证明：VA=VB，∵△ABC为等腰三角形，又 O为AB中点，∴VO⊥AB;--------------------------------------5分在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC, △VOA≌△VOC;-----------6分∴∠V0A=∠VOC=90o. ∴VO⊥OC;--------------------------------------7分AB∩OC=O, AB⊂平面ABC, OC⊂平面ABC, ---------------------8分∴ VO ⊥平面ABC.---------------------------------------------------9分（Ⅲ）解：在圆O 内，OA=OC ，∠CAO=45o，所以CO ⊥AO.由（Ⅱ）VO ⊥平面ABC ，如图， 建立空间直角坐标系.-------------------------10分OA=OB=OC=OV=1, ∴C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(11,22,0).-------------------------------------------11分CB=(-1，-1，0), CV =(-1，0，1)VEC BO zyxA设(,,)m x y z =为平面VBC 的法向量，则0,0.CB m CV m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 所以0,0.x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =，解得(1,1,1)m =-.----------------------12分 同理，求得平面VOE 的法向量为(1,1,0)n =-.--------------------13分cos ,||||u v u v u v ⋅<>=⋅ 6332=⨯，所以6cos θ=.----------------------------------------------14分 17.解：（Ⅰ）设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件A.------------------ ---1分则3333343101()20C C C P A C ++==答：甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为120.-------------------6分（没有答，不扣分）（Ⅱ）设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件B.----------7分则21211233343431022213()20C C C C C C P B C ++==或111334310113()12020C C C P B C =--=答：甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为1320.--------13分 (没有答，不扣分)18.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)+∞.当a=0时，()ln f x x x=，'()ln 1f x x =+.-----------------------1分令'()0f x =得1x e=.------------------------------------------2分.x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭'()f x - 0 +()f x 递减 极小值 递增------------5分 ∴()f x 的最小值为11()f e e=-.--------------------------------6分 （Ⅱ）∵'()ln x a f x x x-=+ ∴21()(ln )2x ag x x ax x x-=+-+.-----------------------------7分21'()()ag x x a x x=+-+,--------------------------------------8分21()(1)x a x =+-,2(1)()(1)x x a x x+=+-.------------------------------------9分（1）当10a -<<时，在(0,)a -，(1,)+∞内'()0g x >；在(,1)a -内'()0g x <.∴ (),1a -为递减区间，()()0,,1,a -+∞递增区间.----------------11分(2)当0a ≥时，在(0,1)内，'()0g x <；在()1,+∞内，'()0g x >.∴()0,1递减区间，()1,+∞递增区间.---------------------------13分 综上所述，当10a -<<时，()g x 单调递增区间为()()0,,1,a -+∞，递减区间为(),1a -；当0a ≥时，()g x 单调递增区间为()1,+∞，减区间 为()0,1.-----------------------------------------------------14分19. 解：（Ⅰ）∵焦点为F （1,0），∴2p =,∴抛物线方程为24yx=.-----3分（Ⅱ）方法一：∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-∴设直线OA 的方程为y kx =；直线OB 的方程为12y x k =-.------5分联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得244(,)A k k，同理2(16,8)B k k -.-----------------9分由抛物线关于x 轴对称可知定点在x 轴上，那么当A ，B 横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.-------------------------------11分 令22416k k =，解得212k=，则22416k k ==8，点M （8,0）为直线AB 过的定点.----------------------------------------------------------12分下面证明直线AB 过M 点∵ 244(8,)MA k k =-，2(168,8)MB kk =--由2244(8)(8)(168)k kk k-⋅-=-⋅可知向量MA 与MB 共线.∴直线AB 过定点M ．----------------------------------------13分方法二：设()()1122,,,A x y B x y .（1）若直线AB 斜率存在，设其方程为y kx b=+.---------------4分24y kx b y x=+⎧⎨=⎩即222(24)0k x kb x b +-+=.----------------------7分∴2122b x x k=，124b y y k=.----------------------------------9分∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x ⋅=-,∴412k b =-，即8b k =-,带入直线方程，得直线AB 方程为8y kx k =-.∴即直线AB 过定点（8,0）.-------------------------------11分（2）若直线AB 斜率不存在，则1212,x x yy ==-，由121212y yx x⋅=-可得128xx ==，∴直线AB 方程为8x =，过定点（8,0）.-------------------12分综上，直线AB过定点．---------------------------------13分20.解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.--------------------------------3分（Ⅱ）证明：充分性：当数列{}na 单调增时，∵12a a <<…na <, ∴排序数列为1,2,3，…，n.∴排序数列为等差数列.----------------------------------4分当数列{}na 单调减时，∵1nn aa -<<…1a <,∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列.综上，数列{}na 为单调数列时，排序数列为等差数列. ---------5分 必要性：∵排序数列为等差数列∴排序数列为1,2,3，…，n 或n,n-1,n-2，…，1.--------------7分∴12a a <<…na <或1nn aa -<<…1a <∴数列{}na 为单调数列.-------------------------------------8分 （Ⅲ）∵数列{}na 的排序数列仍为{}na∴数列{}na 是1,2,3，…，n 的某一个排序，----------------9分假设不存在一项k a k=，即i a j=，(,1,2,3,,1,2,3,)i j i j ≠==…………则在各项从小到大排列后ia 排在第j 位--------------------11分∴排序数列{}na 中jai=，∴n 为偶数12分.∴当n 为奇数时，一定存在一项kak=,当n 为偶数时，不一定存在一项k a k=.-------------------13分。