采用 有 限差 分 法 对 期 权 价 格 变 化 的偏 微 分 方 程进行 求 解 ， 在 此偏 微分 方程
１ ２ 。 Ｏ ２
由伊 藤公 式 ｄ ＝
＋ ｄ Ｓ Ｉ ＋ １ ｏ Ｅ ｖ ， ｄ Ｓ ）
，
＋
州
＝。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ７—１ ６
１ ， 』 ＋ 。２
一
，
，
（ ６ ）
Ｖ。 ｜
将 以上 公式 代入 偏微 分方 程 （ ３ ）
＝
可 得到 ：
１
＋
由（ ６ ） 且 。＝０，
●
，
＝ｅ － ｒ ｔ （ —
：
ｏ ２ ｖ
＋（ ｒ一 １ ２ Ｏ Ｖ
—
ｒ ＝ ０
（ ４ ）
则 Ｖ （ Ｓ ， ｔ ）可转 化成 Ｖ （ Ｘ， 丁 ） ， 为期权 价格 变 动 的 偏微 分 方程． 将ｖ （ ｘ， ） 的连 续变量 转化 为 网格上 的离 散 知 ＋ ＝
。 ：： ————
———一 ¨ ＋ｌ ， ’
一
后 — （ ＋２ ｈ ｒ—ｈ ｏ ＂ ）
—■ —一
ａ Ｘ ｓ
。
＋ ０３ ＋ １ Ｊ
ａ ｓ
—
８ Ｘ ａ ｓ
则 公式 （ ５ ）写成
１ ＝ 口１
ａ Ｖ ａ Ｖ ｄ ｄ ａ ｄ Ｘ Ｉ ： ） Ｖ １ Ｏ Ｖ １ Ｏ Ｓ — ２ — Ｏ Ｘ — ２— ｄ Ｓ— — ｄ Ｓ — — Ｏ Ｘ —ｄ —Ｓ — ２ — Ｏ Ｘ — ２— Ｓ — ２一 — Ｏ Ｘ —— Ｓ — ２
０
０
．
０
，
０ ０
＋
：
●
ａ ３ ０
ｄ２
●
●
●
ａ３
●
ｉ
● ● ●
●
●
点 ｊ ， ｖ （ ｘ ＋ｈ ， ｒ＋ｋ ）对应 网格 上 的点 ＋ ｌ ． ｌ
Ｏ
２
ｄ１
．
苟
廿２
将 程 ＋ 丢 ａ ０ ２ Ｖ ＋ （ ｒ 一 丢 ） Ｏ Ａ 一
看涨 期权 的期 权 价 格 是 关 于 股 票 价格 和 将 其带 入公 式 （ １ ）得 （ ＋ １ ２ 。 ｏ ２ ａ ｉ ｖ ＋ｔ ｘ Ｓ Ｏ Ｖ
一
． ｓ ） ｄ ＋
时 间 的函数． Ｖ＝Ｖ （ Ｓ ， ｔ ） ， 在 期权 的到期 日 ｔ＝ Ｔ
（ Ｓ ， Ｔ ）： （ Ｓ 一Ｋ） ，
２ ２
哈 尔 滨 师范 大 学 自然 科 学 学 报
２ ０ １ ３年 第 ２ ９卷
中口 Ｊ 以看 出 ， 期 权价格 Ｖ是 关于 股票 价格 和 时 间
权 价格 ．
ｔ 的函数 ， 为 了方便 求解 ， 进行 变量 替换 ：
令 Ｓ ＝ｅ ， 取 ∈ ［ 一Ｒ， Ｒ］ ． 当 Ｒ ＝１ ０ ０时 且 口 可 满足 股票 价格 波 动范 围．
下面用 矩 阵求解 该公式 ：
令（ ５ ）的系数 分别 为 。 ＝２ ＿ １ ｋ ２
，
令 ＝ Ｔ—ｔ ， 则期权 价 格关 于股 票价格 和 时 间的 函数 Ｖ （ Ｓ ， ）可 转 化 成 关 于 、 ７ ＿ 的 函 数
Ｖ （ Ｘ， 丁） ． 则
： ． ：
其 中 △是 原生 资产 即股 票 份额 ， 利用 △份额 原 生
资产对冲， 使得在 （ ｔ ， ｔ ＋ｄ ）时间内该投资组合
是无 风 险 的．
在ｔ ＋ 时刻 ， 投资组合 的回报是
吉 ｓ
＝ ０ ㈩
ｎ 一兀
此方程 （ ３ ）即 为 反 应 期 权 价 格 变 化 的 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ—
Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ方 程 ．
ｎ 即 ＋ ｄ ！ 一 ／ ｉ Ｓ 一 （ 一 ／ ｉ Ｓ ） ＝ ｒ ｎ ｄ ｔ
ｄ —Ａ ｄ Ｓ ＝ｒ （ 一△ Ｓ ） ｄ （ １ ）
２ 有 限差 分 法 的 显 式格 式
２ ． １ 差分 格 式的建 立
（ ｓ Ｏ Ｖ
—
Ａ ｒ Ｏ Ｓ ） ｄ Ｗ，＝ｒ （ —ａ Ｓ ） ｄ
（ ２ ）
由于等 式右端 是无 风 险 的 ， 因此等 式 左端 随 机ｄ ｗ 的 系数必 为 ０ ． 即 ：△代 入 （ ２ ）中得
＋
利 用资产 组 合复制 策略， ｎ ＝ 一 △ ５ ．
【 关键词 】金融计算； 有限差分法； 稳定性分析
又 由股 票 价 格 变 化 服 从 几 伺 布 朗 运 动
１ Ｂ ｌ ａ ｃ 看涨 期权 的基 本 假设 ： 原生 资产 价格 演 化遵循 几 何布 朗运 动 ，
ｄ Ｓ， 了
：
ｄ Ｓ ＝ Ｓ （ ／ ｚ ｄ ｔ＋ｏ ＇ ｄ ） ， （ ａ ｓ ） ＝ （ ｄ ＋ ） 。＝ ｓ
＋ ｉ ｚ Ｓ Ｏ Ｖ ） ｄ ＋ 可得 ｄ ＝（ ＋ １ ２ ｓ ２
ｓ ＯＶ
．
ｄ ｔ ＋ ａ ｗ ， ； 在 期权 有 效期 内 ， 无 风 险利率
ｒ 是 常数 ； 期权有效期内， 股 票 不支 付 红 利 ； 没 有 交 易成本 和税 收 ； 不存 在套 利机 会．
第２ ９卷 第 ３期
哈尔滨 师范大学 自然科学学报
Ｎ ＡＴ ＵＲＡＬ Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｓ Ｊ ０Ｕ ＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｉ Ｎ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮ Ｉ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ２ ９ ， Ｎ ｏ ． ３ ２ ０ １ ３
欧 式 看 涨 期 权 定 价 中差 分 格 式 的 稳 定 性 分 析
李 倩 ， 郑 洁
（ 河北金融学院）
【 摘
要】根据 欧 式看 涨期 权 的基本假 设和 资产 复制 策略 推导 了 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ—
Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 方程 ， 通 过 变量代 换 和 离散 化技 术得 到 显 式差分 格 式和 隐式差 分格 式 ， 并 分
别 对其 迭代 稳 定性进 行 了分析 ．