有固定转动轴物 体的平衡
一．力矩： 力矩： M＝FL ＝ 1．力臂： ．力臂： （1）转动轴到力的作用线的垂直距离， ）转动轴到力的作用线的垂直距离， （2）最大可能值为力的作用点到转动轴 ） 的距离。 的距离。
练习：如图所示，直杆 可绕 点转动， 可绕O点转动 练习：如图所示，直杆OA可绕 点转动，图中虚线 与杆平行，杆端A点受四个力 点受四个力F 的作用， 与杆平行，杆端 点受四个力 1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内 它们对转轴O 杆在同一竖直平面内， 力的作用线与 杆在同一竖直平面内，它们对转轴 的力矩分别为M 的力矩分别为 1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小 关系是（ 关系是（ ） （A）M1＝M2＞M3＝M4， ） O’ （B）M2＞M1＝M3＞M4， ） （C）M4＞M2＞M3＞M1， F2 F3 F4 ） O （D）M2＞M1＞M3＞M4。 1 ） F
C A O
2m
30°
B
4m
8m
G1x1＝G2×2
x1＝1.2m
G1x2＋G2×2 ＝FT sin 30°× °×8 °× x2＝0.4m
C A C 30° B A O
FT x2
30° B
x1 O 2m
G1
G2
2m G 2
G1
例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为 ，秤砣重为 ， ：一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为P， 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和OG，求：（1） 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离 和 ， ：（ ） 零刻度的位置，（ ，（2）证明刻度是均匀的，（ ，（3） 零刻度的位置，（ ）证明刻度是均匀的，（ ）讨论 若秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？ 若秤砣换成 ，某刻度的读数是否为原来的两倍？
F A
B
α
C
F α O 90 D° α
FLF＝GLG F
A
G
B
G
C
FLF＝GLG FL＝Ga cos(α＋β) ＝ F
A
B
β Ga α
G
C
练习1： 练习 ：一均匀的直角三直形木板 ABC，可绕过 点的水平轴转动，如右 点的水平轴转动， ，可绕过C点的水平轴转动 图所示。现用一始终沿直角边AB且作 图所示。现用一始终沿直角边 且作 用在A点的力 点的力F， 用在 点的力 ，使BC边慢慢地由水平 边慢慢地由水平 位置转至竖直位置。在此过程中， 位置转至竖直位置。在此过程中，力F 的大小与α角变化的图线是 角变化的图线是（ 的大小与 角变化的图线是（ ） F α O 90 A° O 90 B° F α O 90 C° F
FN
A
B C 30°
mg 2L mg cosα＝ FNL cosα＋FNL sinα 3 FN＝2mg/(1＋ tanα) ＝200 N ＋
Ff
3.如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆 在B点用铰链与 如图所示，质量为 粗细均匀的均质细杆 粗细均匀的均质细杆AB在 点用铰链与 如图所示 墙连接， 墙连接，杆与竖直墙面的夹角为θ＝37°，A端固定一轻质光滑小滑 ° 端固定一轻质光滑小滑 墙上C点固定轻绳的一端 点固定轻绳的一端， 轮，墙上 点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有 质量为M的物体 的物体G。目前杆AB与物体 都处于静止状态， 与物体G都处于静止状态 质量为 的物体 。目前杆 与物体 都处于静止状态，则杆的 质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物体 质量与物体的质量的比值为 ＝ ；若略微增加物体G 的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选填 的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当 选填 增大” 减小” 角的大小。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） 角的大小。（ “增大”或“减小”)θ角的大小。（ ° ， ° ）
GLsinθ /2 FN＝ Lsinθ－Lcos θ G/2 ＝ 1－ cot θ －
FN
B
θ
Ff G
练习1： 练习 ：一均匀的直角三直形木板 ABC，可绕过 点的水平轴转动，如右 点的水平轴转动， ，可绕过C点的水平轴转动 图所示。现用一始终沿直角边AB且作 图所示。现用一始终沿直角边 且作 用在A点的力 点的力F， 用在 点的力 ，使BC边慢慢地由水平 边慢慢地由水平 位置转至竖直位置。在此过程中， 位置转至竖直位置。在此过程中，力F 的大小与α角变化的图线是 角变化的图线是（ 的大小与 角变化的图线是（ ） F α O 90 A° O 90 B° F α O 90 C° F
2FNB＝FNA＋mg 2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg 2FNA＝FND＋3mg 15FND＝17mg FND＝17mg/15
4FNB＝2FNA＋2mg 8FNC＝4FNB＋4mg 16FND＝8FNC＋8mg 2FNA＝FND＋3mg
C B D N A
FNA×2L＝mg×2L＋FND×L＋mg×L ＝ × ＋ ＋ ×
F A
BБайду номын сангаас
α
C
F α O 90 D° α
2．如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连接 ．如图所示，一根不均匀的铁棒 与一辆拖车相连接 与一辆拖车相连接， 为一固定水平转动轴， 端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动，棒 为一固定水平转动轴 拖车在水平面上做匀速直线运动， 长为L，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为 3/3，棒的 长为 ，棒的质量为 ， ， 重心C距转动轴为 距转动轴为2L/3，棒与水平面成 °角。运动过程中地面对 重心 距转动轴为 ，棒与水平面成30° 铁棒的支持力为_______N；若将铁棒 端的固定转动轴向下移一 铁棒的支持力为 ；若将铁棒B端的固定转动轴向下移一 其他条件不变， 些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原来 __________（选填“增大”、“不变”或“减小”）。 不变” 减小” （选填“增大”
A
G
O P
B
D
G×OG ＝P× OC × × W×OA＋G×OG ＝P×OB × ＋ × × ＝P×OC ＋P× CB × × W×OA＝P× CB × ＝ × A G OC G P W A G OC B G P
G×OG ＝2P×OC’ × ×
C’比C点更左些 比 点更左些
W×OA＋G×OG ＝2P×OB’ × ＋ × × ＝2P×OC’＋2P×C’B’ × ＋ × W×OA＝2P×C’B’ C’B’为CB的一半 × ＝ × A G OC’ G 2P W A G OC’ B’ G 2P
FNB×2L＝FNA×L＋mg×L ＝ ＋ × 2FNB＝FNA＋mg FNB mg FNA A
D
C B N A
FNA mg mg FND FNB×2L＝FNA×L＋mg×L ＝ ＋ × 2FNB＝FNA＋mg 2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg
D C B N A
FNA×2L＝mg×2L＋FND×L＋mg×L ＝ × ＋ ＋ ×
a a F 甲 乙 A F
a a G
G
有四根相同的刚性长薄片A、 、 、 ， 例4:有四根相同的刚性长薄片 、B、C、D，质量均 有四根相同的刚性长薄片 为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， ，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D ），并在 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在 薄片右端的N点放上质量也为 的小物体，那么D薄片 点放上质量也为m的小物体 薄片右端的 点放上质量也为 的小物体，那么 薄片 中点受到的压力为_____________。 中点受到的压力为 。
A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法： ．力矩计算的两种常用等效转化方法： （2）重力矩的两种计算方法： ）重力矩的两种计算方法：
a M＝G sin α ＝ 2 a G a
α
α
G
2．力矩计算的两种常用等效转化方法： ．力矩计算的两种常用等效转化方法： （2）重力矩的两种计算方法： ）重力矩的两种计算方法：
A’ A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法： ．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（1）将力分解后求力矩， 将力分解后求力矩， F F F1
α
L M＝FL sin α ＝ L
α
F2 M＝F1L ＝FL sin α ＝
练习：如图所示，直杆 可绕 点转动， 可绕O点转动 练习：如图所示，直杆OA可绕 点转动，图中虚线 与杆平行，杆端A点受四个力 点受四个力F 的作用， 与杆平行，杆端 点受四个力 1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内 它们对转轴O 杆在同一竖直平面内， 力的作用线与 杆在同一竖直平面内，它们对转轴 的力矩分别为M 的力矩分别为 1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小 O’ 关系是（ 关系是（ ） （A）M1＝M2＞M3＝M4， ） F2 F3 F4 O （B）M2＞M1＝M3＞M4， ） （C）M4＞M2＞M3＞M1， F1 ） （D）M2＞M1＞M3＞M4。A’ ）
M顺 ＝ M逆
三．力矩平衡条件的应用： 力矩平衡条件的应用： 解题步骤： 解题步骤： （1）选取研究对象， ）选取研究对象， （2）受力分析（转动轴上的受力不用分 ）受力分析（ 析）， （3）确定力臂、力矩方向， ）确定力臂、力矩方向， （4）列方程解方程。 ）列方程解方程。
例1：均匀板重 ：均匀板重300 N，装置如图，AO长4 m，OB ，装置如图， 长 ， 长8 m，人重 ，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为 ，绳子能承受的最大拉力为200 N， ， 人能在板上安全行走的范围。 求：人能在板上安全行走的范围。
A
C
B
L G× × × ＋G×L ＝F× 2L × 2 F
A A
C
B