数的开方与二次根式讲义
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念 (1)二次根式
式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ).
0;0();0;0();
0(),
0(||);
0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨
⎧<-≥==≥=b a b
a b
a
b a b a ab a a a a a a a a a
3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=
⋅b a ab b a
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。
有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
考查题型
1．下列命题中，假命题是（ ）
（A ）9的算术平方根是3 （B ）16的平方根是±2
（C ）27的立方根是±3 （D ）立方根等于－1的实数是－1 2．在二次根式45， 2x 3
， 11，
54， x
4
中，最简二次根式个数是（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ） （A ）136，3 2 （B ）35，15 （C ）1
2
12，
1
3
（D ）8，23
3. 化简并求值，a+ab ab+b ＋ab －b
a －ab
，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3
4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为 5．（－14）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，
4
9
的算术平 方根是 ，
49
81
的平方根是 . 考点训练：
1．如果x 2
＝a ，已知x 求a 的运算叫做 ，其中a 叫做x 的 ；已知a 求x 的运算叫做 ，其中x 叫做a 的 。
2．(－ 2 )2
的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。
3．当a<0时，化简∣a ∣＋a 2
＋3a 3 ＝ 。
4．若 5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x 等于（ ） （A ）5.062 （B ）0.5062 （C ）0.005062 （D ）0.05062 5．设x 是实数，则(2x ＋3)(2x －5)＋16的算术平方根是（ ） （A ）2x －1 （B ）1－2x （C ）∣2x －1∣ （D ）∣2x ＋1∣ 6．x 为实数，当x 取何值时，下列各根式才有意义： （1）－3x －2 （ ）（2）x 2
＋5 （ ）（3）1
x
2 （ ） （4）
1
3
1－x
（ ）(5)1
1－x ＋2 （ ）（6）x ＋－x （ ）
7．等式
3－x x ＋2 ＝3－x
x ＋2
成立的条件是（ ）
（A ）－2<x ≤3 （B ）－2≤x ≤3 （C ）x>－2 （D ）x ≤3 8．计算及化简： （1）(－727
)2 （2）ab 2(c ＋1)2 （3）0.01×64
0.36×324
（4）2a 2
3b
b 3
a 4－
b 2
a 4 （b>1） （5）
x
x －3y
x 2
y －6xy 2
＋9y
3
x
（x>3y ）
（6）(48 －60.5 )(4 3 ＋18 )－(2 3 －3 2 )2
（7）已知方程4ｘ2
－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，
化简4ａ2
－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜
解题指导 1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．已知30.5 =0.794，35 =1.710，350 =3.684，则3
5000 等于（ ） （A ）7.94 （B ）17.10 （C ）36.84 （D ）79.4 3．当1<x<2时，化简∣1－x ∣＋4－4x ＋x 2
的结果是（ ） （A ）－1 （B ）2x －1 （C ）1 （D ）3－2x 4．(x －2)2
＋(2－x )2
的值一定是（ ） （A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 5．比较大小： （1）3
15
11
4
（2）7 － 2 2 2 －1 （3）35 －34 34 －33 6．化简：a
a －2b
a 2
b －4ab 2
＋4b
3
a
（）
7．计算：（32 ＋0.5 －2
1
3
）－（18 －1
5
75 ） 8．已知a ＝
3－23＋2 ，b ＝3＋23－2
，求a 2－5ab ＋b 2
的值。
9．计算：945 ÷3
15 ×3
2
223 10．化简：632－23
11.设
5+15-1
的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋12 ａｂ＋ｂ2
的值。
独立训练
1． 2 － 3 的倒数是 ； 2 － 3 的绝对值是 。
2．8 的有理化因式是 ，x －y 的有理化因式是 。
3．1x －x －1 与1
x －1＋x
的关系是 。
4．三角形三边a ＝750 ，b ＝472 ，c ＝298 ，则周长是 。
5．直接写出答案：
（1） 3 · 2 ÷30 ＝ ，（2）4xy 2x = ，（3）( 3 －2)8( 3 ＋2)8
= 。
6．如果 a － b 的相反数与 a ＋ b 互为倒数，那么（ ）
（A ）a 、b 中必有一个为0 （B ）∣a ∣＝∣b ∣（C ）a ＝b ＋1 （D ）b ＝a ＋1
7．如果(2－x)2
＋(x －3)2
＝（x －2）＋（3－x ），那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥3 （B ）x ≤2 （C ）x>3 （D ）2≤x ≤3 8．把（a －b ）
－1a －b
化成最简二次根式，正确的结果是（ ） （A ）b －a （B ）a －b （C ）－b －a （D ）－a －b 9．化简－3x x －
1x
＋4x 3
的结果必为（ ） （A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）不能确定 10．计算及化简： （1）（5
8
27
·113 ·354 ） （2）18 ＋22－1
－412
－2( 2 ＋1)0
（3）（3x 2 x y －25 3xy +13 xy 2 ）÷x 2 x y （4） a a －b
a 2
－ab
a 3－2a 2b+ab
2
（a>b ） 11.已知ｘ＋3ｘ＋2 ＝13+2+1 ,求x-32x －4 ÷(5
x －2 －的值x －2)。
12.先化简,再求值:( ｘ＋2xy +y x ＋y + 1x - y )+ ｘ- y+1
x
其中x=2 - 3 ,y=2 + 3
13.设11－6 2 的整数部分为m ，小数部分为n ，求代数式m ＋n ＋2
n
的值。
14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2
＋12ｘ－9 的最大值和最小值。
15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1 －1｜＝4ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值。