数值分析课后习题部分参考答案数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10)5. 求2的近似值*x ,使其相对误差不超过%1.0。
解:4.12=。
设*x 有n 位有效数字,则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。
从而,1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。
故,若%1.0105.01≤⨯-n,则满足要求。
解之得,4≥n 。
414.1*=x。
(P10)7. 正方形的边长约cm 100,问测量边长时误差应多大,才能保证面积的误差不超过12cm 。
解:设边长为a ,则cm a 100≈。
设测量边长时的绝对误差为e ,由误差在数值计算的传播,这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。
按测量要求,1|1002|≤⨯⨯e 解得,2105.0||-⨯≤e 。
Chapter 2(P47)5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。
解:设()γβα=-1A。
分别求如下线性方程组:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。
先求A 的LU 分解(利用分解的紧凑格式),⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。
即,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121012001L ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。
经直接三角分解法的回代程,分别求解方程组,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α,得,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β,得,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323131β;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ,得,;⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313231γ。
所以,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A 。
(P47)6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x解: 平方根法:先求系数矩阵A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式),⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(,即,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ,其中,TL L A ⨯=。
经平方根法的回代程,分别求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x L T =,得,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111x 。
改进平方根法:先求系数矩阵A 的形如TLDL A =的分解,其中44)(⨯=ijlL 为单位下三角矩阵,},,,{4321d d dd diag D =为对角矩阵。
利用计算公式,得11=d ;;1,2,222121===d l t;9,2,1,2,1332313231=-==-==d l l t t1,32,1,3,6,1,34434241434241===-===-=d l l l t t t 。
分别求解方程组,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x DL T=,得,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111x 。
(P48)12. 已知方程组⎩⎨⎧=+=+198.099.0199.02121x x x x 的解为100,10021-==x x 。
(1) 计算系数矩阵的条件数; (2) 取TT x x )5.99,5.100(,)0,1(*2*1-==,分别计算残量)2,1(*=-=i Ax b r i i 。
本题的计算结果说明了什么?解:(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=98.099.099.01A ,求得,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-100009900990098001A。
从而,39601)(1=A Cond 。
(2)计算得,Tr)01.0,0(1=,01.011=r;Tr)985.0,995.0(2--=,98.112=r 。
这说明,系数矩阵的条件数很大时,残量的大小不能反映近似解精度的高低。
Chapter 3(P72)3. 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x取初值Tx )0,0,0()0(=,迭代4次,并比较它们的计算结果。
解:由方程组得,1221122213312321+--=+--=++-=x x x x x x x x x从而,Jacobi 迭代格式为:1221122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ,.,2,1,0 =kGauss-Seidel 迭代格式为:1221122)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=++++++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ,.,2,1,0 =k整理得,1232)(3)1(3)(3)(2)1(2321-=-=++k k k k k x x x x x ,.,2,1,0 =kJacobi 迭代:TT T T T x x x x x )1,3,3()1,3,3()3,1,1()1,1,1()0,0,0()4()3()2()1()0(-=→-=→--=→=→=Gauss-Seidel 迭代:TT T T T x x x x x )15,51,43()7,15,11()3,3,1()1,0,1()0,0,0()4()3()2()1()0(--=→--=→--=→-=→=Jacobi 迭代中)3(x 已经是方程组的精确解,而从Gauss-Seidel 迭代的计算结果,可以预见它是发散的。
(P73)9.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33122113214bx ax b x ax b ax ax x(1) 分别写出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式,(2) 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a 的取值范围。
解: 由方程组得,31321213214b ax x b ax x b ax ax x +-=+-=+--=从而,Jacobi 迭代格式为:3)(1)1(32)(1)1(213214b ax x b ax x k k k k +-=+-=++,.,2,1,0 =k 迭代矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000040a a a a B设0||=-B I λ,求得,||5|,|5,0321a a -===λλλ,故||5)(a B =ρ。
另由Jacobi 迭代格式,得Gauss-Seidel 迭代格式为:31)(32)(22)1(321)(32)(22)1(21)(3)(2)1(1444b ab x a x a x b ab x a x a x b ax ax x k k k k k k k k k +-+=+-+=+--=+++,.,2,1,0 =k迭代矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222204400a a a a a aG设0||=-G I λ, 求得,23215,0,0a ===λλλ,故25)(a G =ρ。
另外,应保证方程组的系数矩阵非奇异,解得,55±≠a 。
由迭代收敛的充要条件得,Jacobi 迭代收敛55||<⇔a ;Gauss-Seidel 迭代收敛55||<⇔a 。
故,使得两种迭代法都收敛的a 的取值范围是相同的:55||<a 。
(P74)12.证明对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a a a a a a A 当121<<a 时为正定矩阵,且只有当21||<a 时,Jacobi 迭代解b Ax =才收敛。
解: A 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立:0111,011,01>>>a a a a aa a a,解之得,121<<a 。
此时解方程组的Gauss-Seidel 迭代收敛。
另外,可得解方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=000a a a a a a B解得,||2)(a B =ρ。
由收敛的充要条件,Jacobi 迭代收敛当且仅当21||<a 。
Chapter 5(P140)7.设nx x x ,,,1为1+n 个互异节点,),1,0)((n j x l j=为这组节点上的n 次Lagrange 插值基函数,试证:(1)∑===nj kj k j nk xx l x 0,1,0,)( ;(2)∑==≡-nj j k jnk x l x x,1,0,0)()( 。
证:(1)对于固定的},,2,1{n k ∈,设∑==nj j k j x l x x P 0)()(,则)(x P 为次数不超过n 的多项式,且ki i x x P =)(,n i ,,1,0 =而对于多项式函数kx 当然也满足如上的等式条件以及次数n ≤,由Lagrange 插值问题的适定性,kx x P =)(。
(2)对于固定的},,2,1{n k ∈,∑∑∑∑∑==---===--=-=-nj ji j ki ik ik i kik i jnj nj ki ik ikj j kjx lx xC xx C x l x l x x00)()1()1()()()()()1(0≡-=-=∑=--k i ki i k i k i k x x x x C ,证完。