解：
20MPa
1 44.14MPa 2 15.86MPa 3 0
40MPa
1
arctan
x 1 xy
10MPa
arctan 40 44.14 22.5o 10
x 40MPa y 20MPa xy 10MPa
max
1
3
2
22.07MPa
1
i, j
x
y
2
x
2
y
2
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
x
E
z
x
E
y
x
E
z
x
x
E
y
E
z
E
1 E
x
y
z
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
y
z
z
y
x
xy
x
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
量,则两个面上的切应力一定等值、方向相对或相离。
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 Mz 0
xy x
x
( xydydz)dx ( yxdzdx)dy 0
xy yx
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
F A
F
x
x
A
x
F A
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
T
T
B
yx CB xy
n
y 1
Fx 0
0
1S cos0 x S coso
x O y
x
xy
xy S sin 0
tan0
x 1 xy
y
y
3
主 单元体
x
xy10
tan20
2 xy x
y
Ox
四、最大切应力
令 : d
0
d 1
tan21
x 2 xy
y
m ax m in
x
2
y
2
2 xy
y
3
主 单元体
x
平面应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
2 3
1
x B x
zx
xz
x
x
A
§7–2 平面应力状态分析——解析法
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
3
z
x
3
2
1
y
1
3
z
2
x
12
1
2
2
1
3
2
12
2
1
y
1
3
z
2
x
23
2
2
3
3
2
23
2
1
3
y
1
2
13
1
2
3
3
x
z
1
13
3
2
1
3
y
1
max
最大正
应力
2
3
z
x
3
2
图a 最小正
应力
1
图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大切应力为：
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
x 20MPa y 30MPa xy 0 120o
300
20MPa
30MPa
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin2
17.5MPa
x
y
2
sin2
xy cos 2
21.65MPa
23
例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。
六、主单元体、主平面、主应力
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
空间应力状态（ Space State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由梁弯曲应力公式：
q
x
My Iz
xy
FS
S
z
b Iz
1 3
x
2
2 0
x
2
2
2 xy
x yx xy
1
3 3
2
0 1
3
33 –45°
13
4
0
1
5 1
A
B
3 C O
A
3
20
C O 1
A
B
3
CO
20= –90°
1
B
A
20
3
O C
1
B
B
A
O C 1
§7–4 空间应力状态简介
y
1
2
y
考虑切应力互等和三角变xy
x
图1
y
xy
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
s in 2
同理： F 0
x
2
y
s in 2
xy
cos 2
n
Ox
图2
二、极值应力
令 : d d
0
x y
sin20 2 xy cos 20
0
tan20
2 xy x
y
y
由此得两个驻点：
0、 0
21
x
A(x
,xy)
i j
OC
R
OC
3 2
20 1
x y
2
B(y ,yx)
x
2
y
2
2 xy
m in
max min
R
1
3
2
例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3 )
25 3
2
45 B 95
A
150° 0 25 3
max
1
2
3
平面应力状态有几个应力圆？
y
1
2
x
3
2
z
最大切应力为：
max
1
2
3
1
例1 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa） y
B AC
40 50 30
x z
解：由单元体图
知C为主平面
k 50MPa
30 40
i j
z
2
y
z
2
y
2
2 zy
i j
57.72MPa 27.72MPa
x 95MPa
i j
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
i j
120MPa 20MPa
1 120MPa
2 20MPa
3 0
tan0
x 1 xy
0 30
例6 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、
FS>0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。
F1
F2
1
2 3 4
5
y
xy 1
Ox
' max
' min
i
j
2
空间应力状态：
max min
1
3
2
max
1
3
2
0
1
4
极值切应力面与主平面成45角。
20
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
Me
xy yx
解：确定危险点并画单元体
yx
C xy
x y 0
xy
T Wt
求主应力及最大切应力
i j
x
2
y
x
25 3
y 45MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
2
y
s in 2
xy
cos 2
25 3 x 45 sin120o 25 3 cos120o
2
x 95MPa
45 95
25 3
60°
2
150° 25 3
y Ox
0
1
95
25 3
y 45MPa
xy 25 3MPa
1
E
2
y x
xy G xy
五、体积应变与应力分量间的关系
V a1a2a3
V1 a1(1 1 )a2 (1 2 )a3 (1 3 )
体积应变：
V1 V V
1 2
3