概率论五六章习题详解(王志刚版)

2 概率论与数理统计

习题五

1 .已知()1EX，()4DX，利用切比雪夫不等式估计概率12.5PX.

解： 据切比雪夫不等式

221PX

2412.512.5PX

925 .

2．设随机变量X的数学期望()EX，方程2()DX，利用切比雪夫不等式估计||3PX.

解：令3，则由切比雪夫不等式

2()||3DXPX ， 有

221||3(3)9PX.

3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527:之间的概率.

解： 设X为6颗骰子所出现的点数之和；

iX为第i颗骰子出现的点数，1,2,,6iL，

则61iiXX，且126,,...,XXX独立同分布，

分布律为：

3

4 .

即6颗骰子出现点数之和在1527:之间的概率大于等于914 .

4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.

解： 以iX表示第i次炮击击中的颗数(1,2,,1000)iL

有()0.4iEX ，()3.6iDX

据 定理：

则10001380420iiPX

420400380400()()36003600

11()()33

12()13

20.62931

0.2586 .

5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g.

求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.

解： 设iX为第i个螺丝钉的重量，1,2,,100iL，

且它们之间独立同分布，

5 于是一盒螺丝钉的重量1001iiXX，

且由()100iEX，()10iDX知

()100()10000iEXEX，()100DX，

由中心极限定理有：

100001020010000(10200)10100XPXP

100002100XP

1000012100XP

1(2)

10.977250.02275 .

6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从0.5,0.5上的均匀分布.

（1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.

解： 设iX为第i个加数的取整舍入误差，

则iX为相互独立的随机变量序列，

且均服从0.5,0.5上的均匀分布，则

0.50.5()0iEXxdx

6 0.5220.51()12iDXxdx

（1） 因1200n很大，

由独立同分布中心极限定理对该误差总和12001iiX，

1200115iiPX

1200115120012001212iiXP

120011221.51200iiPX

2(1(1.5))

0.1336 .

即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .

(2) 依题意，设最多可有n个数相加，则应求出最大的n，

使得1100.9nkkPX

由中心极限定理：

1110101212nniiiinnPXPX

2(10)10.912n .

7 即(10)0.9512n

查正态分布得101.6412n

即21012()446.161.64n

取446n，最多可有446个数相加 .

7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.

解 以X表示1年死亡的人数

依题意，(3000,0.001)XB:

注意到

200030000PPX保险公司亏本

其概率为

1530000.001151()30000.0010.999PX

1(6.932)

0 .

即保险公司亏本的概率几乎为0 .

8. 假设12,,...,nXXX是独立同分布的随机变量，已知 15PX

8 ()kikEX (1,2,3,4;1,2,,)kinL.

证明：当n充分大时，随机变量211nniiZXn近似服从正态分布.

证明：由于12,,...,nXXX独立同分布，则22212,,...,nXXX也独立同分布

由()kikEX (1,2,3,4;1,2,,)kinL

有22()iEX，2242()((iiiDXEXEX

242

2211()()nniiEZEXn

2242211()()()nniiDZDXnn

因此，根据中心极限定理：

2242(0,1)()nnZUNn:

即当n充分大时，nZ近似服从2242(,())Nn .

9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X的概率分布；

（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.

求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.

解 （1）(100,0.2)XB:，

所以1001000.20.80,1,2,,100kkkPXkCkL

9 ()20EXnp ，()(1)16DXnpp

（2）|430PX

1420203020161616XP

(2.5)(1.5)

(2.5)(1.5)1

0.9940.93310.927 .

10 . 某厂生产的产品次品率为0.1p，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？

解：设每盒中装n只产品，合格品数 ~(,0.9)XBn，

()0.9EXn，()0.09DXn

则1001100PXPX

1000.91()0.950.3nn

所以1000.91.650.3nn

解得117n，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。

11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用 中心极限定理：

（1）计算同时用电户数在9030户以上的概率？

（2）若每户用电200瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以0.95

10 的概率保证供电？

解 以X表示用电高峰时同时用电的户数

（1）依题意，(10000,0.9)XB:，又()9000EX，()900DX，

于是据 定理：

10000900090309000()9030900900PXP

100()(1)3

10.8413

0.1587

（2） 设电站至少具有x瓦发电量，才能0.95的概率保证供电，则因为要：

200200xPXxPX

900090002003030xXP

1800000()0.956000x

查表得：18000001.656000x

得1809900x

即电站具有1809900瓦发电量，才能以0.95的概率保证供电 .

（B）

11 1、设随机变量X服从参数为2的指数分布，12,,,nXXXLL相互独立，且都与X的分布相同，求当n时，211nniiYXn依概率收敛的极限 .（答案：12）

2、设12,,,nXXXLL相互独立，且分布相同，()(1,2,3,4)kikEXk存在，则根据独立同分布的中心极限定理，当n充分大时，211nniiZXn近似服从正态分布，求分布参数. （答案：2422,n）

3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50kg，标准差为5kg. 若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977((2)0.977)？（答案：98）

习题六

1.设128,,,XXXL是来自(0,) 上均匀分布的样本，0末知，求样本的联合密度函数

解:

128812810,,,(,,,)0xxxfxxxLL其他

2. 设总体X服从参数为的泊松分布，其概率分布律为：

12 ()(0,1,)!iPXieiiL

求：样本12,,...,nXXX的联合分布律为：

解：

1122,,...,nnPXiXiXi

1nkkPXi

11()!nkkinnkkei 0,1,2,,1,2,,kiinLL .

3．若总体2(,)XN:，其中2已知，但末知，而12,,,nXXXL为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.

（1）11niiXn ；（2）211()niiXn ；（3）211()1niiXXn ；

（4）3Xn ；（5）Xn ； （6）2151()(1)niiXXXnn

解： （1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数，所以不是统计量 .

4. 总体X的一组容量为10的样本观测值为：0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1，求经验分布函数10()Fx.

解 :将样本观测值重新排序为：

10.70.30.100.150.20.2512，所以