2.频率采样法设计FIR滤波器的对频率采样值的约束条件
ＦＩＲ滤波器具有线性相位的条件是 为实序列，且满足 ，由此我们得出其相频响应应满足的条件是
（７）
（８）
Ｎ为偶数 （９）
Ｎ为奇数 （10）
在 区间上N个等间隔的采样频点为
(11)
因此得到频率采样值的约束条件：
（12）
（13）
（14）
（15）
根据频域采样定理可知，频域等间隔采样 ，经过IDFT得到 ，由公式
>> %H(1,10)=0.5;H(1,24)=0.5;
>> k=0:(N-1)/2;k1=(N+1)/2:(N-1);
>> A=[exp(-j*pi*k*(N-1)/N),exp(j*pi*(N-k1)*(N-1)/N)];
>> HK=H.*A;
>> hn=ifft(HK);
>> freqz(hn,1,256);
6、设计心得体会. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.设计要求
频率采样法设计FIR滤波器的设计步骤
（1）根据阻带最小衰减选择过渡带采样点的个数 ；
（2）确定过渡带宽 ，估算频域采样点数。如果增加 个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成 。当N确定时， 越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽 ，则要求 ，滤波器长度 必须满足如下公式：
因而，对一个理想的频响Hd(e ),其对应的单位抽样响应的是h(n)，如果对H在单位圆作N等分间隔抽样，得到N个频率抽样值H，由H（k）经IDFT得到N点的有限长序列h(n),则
式中 是N点矩阵序列。h(n)是 的主值序列，因此，由h(n)求得的频率响应 逼近 ，这就是频率抽样法的基本过程，从而频率抽样法设计的基本步骤可归纳为：
（16）
（17）
可得 的内插表示形式：
(18)
3、源程序清单
根据序列傅里叶的变换与离散傅里叶变换的关系，一个任意长的序列，对它的频率特性进行N等分间隔抽样，利用离散傅里叶反变换，可以得到一个N点的有限长序列。这个有限长序列是原序列以N为周期的周期序列的主值序列，因而它的频率特性也将逼近原序列所对应的频率特性。
2、设计原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .……………….. . . . . . . . . . . ...2
3、源程序清单. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.设计原理
1.频率采样法设计FIR滤波器的基本原理
设希望逼近的滤波器的频响函数用 表示，对 在 到 之间等间隔采样点N点，得到 ：
（5）
再对 进行N点IDFT，得到 ：
(6)
将 作为所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应，其系统函数 为：
(25)
另外根据频率域采样理论，利用频率采样值恢复原信号Z变换公式，得到 的内插表示形式为：
（6）楼顺天，李伯菡. 基于Matlab的系统分析与设计. 西安；西安电子科技大学出版社．
（7）周浩敏，王睿. 测试信号处理技术. 北京航空航天大学出版社．
(8) 黄文梅. 信号分析与处理. 长沙；国防科技大学出版社．
1、设计要求. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
实验结果及总结：
通过实验使我更清楚地了解到频率采样法是从频域出发直接设计滤波器的，而窗函数法是从时域出发设计滤波器的，两种设计方法各有优缺点。窗函数法设计FIR数字滤波器是傅里叶变换的典型运用，而频率采样法设计的指导思想是频域采样定理及内插公式，其阻带衰减的改善是通过增加过渡采样点实现的，同时为保证过渡带宽的不变，滤波器的采样点数也要相应增加，计算复杂度也随之成倍增加，这就要求在用频率采样法设计FIR滤波器时，要综合考虑阻带衰减和滤波器长度的要求，从而达到设计的最优化。在设计时，窗函数法要根据设计指标选择合适的窗函数，而且要尽可能选主瓣较窄的窗函数，一般选哈明窗，但还是存在一定的缺陷，灵活度不高。对于灵活度比较高的频率采样法，我们可以增加采样点数来减小误差，一般适用于窄带滤波器的设计。两种方法各有优缺点，实际应用起来还应该结合设计指标来选择相应的方法。
3、掌握Matlab软件的基本应用；
4、得出结果和仿真波形；
5、总结：对以上各设计步骤写出详细的设计报告，存在什么问题，如何解决。
设计步骤
1、选择适当的题目，查阅相关资料；
2、技术参数设定，选定所要设计的某种类型的滤波器后，设定相应的技术参数；
3、Matlab程序设计；
4、得出结果和仿真波形；
5、总结，对以上各步骤写出详细的设计报告，存在什么问题，如何解决。
>> figure(2);
>> stem(real(hn),'.');
>> line([0 35],[0 0]);
>> xlabel('n');ylabel('h(n)');
4、设计结果和仿真波形
理论分析：频率采样法提高阻带衰减的具体方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但是阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。
（1）
（3）构造一个希望逼近的频率响应函数：
（2）
式中， 为相应的理想频响特性。
（4）进行频域采样：
（3）
（42）
（5）对进行 点IDFT,得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲相应：
（4）
（6）检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调 的边界频率。
4、设计结果和仿真波形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
5、参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
题目FIR数字带通滤波器的设计
班级09电子信息工程
学号
姓名
指导鲁昌龙
时间2012.05.28–2012.06.08
景德镇陶瓷学院
数字信号处理课程设计任务书
姓名_班级___09电信____指导老师鲁昌龙
设计课题：FIR数字带通滤波器的计
设计任务与要求
1、题目选择：FIR数字带通滤波器的设计；
2、技术参数设定，选定所要设计的某种类型的滤波器后，设定相应的技术参数;
实验中我们通过改变过渡带采样值来使阻带最小衰减达到指标要求，若边界频率未达到指标要求，则要微调 的边界条件。
结果：采样点数M=30，过渡带样本点分别为0.12、0.62。
频率采样法相对于窗函数法的最大优点就是可以改变其采样点数。频率采样法设计滤波器最大的优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合设计具有任意幅度特性的滤波器. 缺点是边界频率不易控制。如果增加采样点数n,对确定边界频率有好处，但 n 加大会增加滤波器的成本.。因此适合窄带滤波器的设计频率采样法适合窄带滤波器的设计，采样点的增加将加大滤波器的成本和硬件实现的难度。而我缺乏一些知识和经验，没有做出本方法的对比设计，这也是本设计实验最大的遗憾。
参考文献
（1）程佩青; <<数字信号处理教程>> ; 清华大学出版社.
（2）吴镇扬;<<数字信号处理>>; 高等教育出版社.
（3）胡广书; <<数字信号处理导论 >>; 清华大学出版社.
（4）高西全，丁玉美.数字信号处理.3版.西安：西安电子科技大学出版社，2008年
（5）Sanjit k-Mitra.数字信号处理——基于计算机的方法.3版.阔永红译.电子工业出版社， 2006年．
例：用频率采样法设计一个具有线性相位的低通滤波器，其理想频率选择性为
已知截止频率为0.3 ，抽样点数为30.
其Matlab程序如下：
>> clear;N=30;
>> H[ones(1,9),zeros(1,15),ones(1,9)];
>> H=[ones(1,9),zeros(1,15),ones(1,9)];
对 抽样所得 表示为： (k=0，1,2…… )
由 至 再至 的过程可用 直接求 的内插公式求出，即
根据频率抽样法，为逼近所需要的频率响应，先要在z平面单位圆上对所需的频率采样，然后求出通过频域取样点的内插频率响应。对于频响足够平滑的滤波器，内插误差一般较小。
下面通过一个实例来说明应用抽样频率法设计FIR数字滤波器的例子：