第一章 常用逻辑用语
1．1 命题及其关系 1.1.2 四种命题的相互关系
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1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.
2.会利用命题的等价性解决简单问题.
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目
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接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．四种命题之间的关系：
逆命题，
若q则p
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目
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接
否命题，若 ﹁p则﹁ q
逆否命题， 若﹁q则﹁ p
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2
＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真命题．
方法二 原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m ＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
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链
所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.
接
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为 真命题．
相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取 x＝1，y＝0)是假命题， 栏
目
所以其逆否命题是假命题．
链 接
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－
6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三 角形是等边三角形”，显然是假命题．
答案：B
变式 训练
2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
解析：方法一 因为 m>0，所以 12m>0，所以 12m＋4>0. 栏
目
所以方程 x2＋2x－3m＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0.
链 接
所以原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为
真命题．
根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；
真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
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目
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否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
接
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题． 点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命
题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相 关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．
自测 自评
1．下列说法，不正确的是( B )
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自测 自评
2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”
的否命题是(B )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
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目
B．若f(x)不是奇函B数，则f(－x)不是奇函数
链 接
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
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链
即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命 接
题．
点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
题型三 命题的否定与否命题
例3 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它 们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
基础 梳理
2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的___真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 栏
_没_有__关__系__．
目 链
接
例：命题“若 x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它
的逆否命题：
“_若__s_in__x_≠_s_in__y_，__则__x_≠_y____”也是真命题；否命题 “_若__x_≠_y_，__则__si_n__x_≠_si_n__y_____”是假命题，逆命题 “若__s_in__x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y___”也是假命题．
α＝2kπ±π3 (k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若
α＝π3 ，则 cos α＝12”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．
题型二 等价命题的应用
例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函
数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋
b≥0.
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链
分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证 接
明它的逆否命题．
证明：原命题的逆否命题是“已知函数 f(x)是(－ ∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋ f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若 a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)
是(－∞，＋∞)上的增函数，
自测 自评
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；
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目
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
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接
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数， 则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有
解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则 x＋y≠3；假
命题．
否命题：若 x＋y＝3，则 x＝1且y＝2；假命题．
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逆否命题：若x＝1且 y＝2，则x＋y＝3；真命题．
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(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数
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题型一 四种命题真假的判断
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判
断命题的真假．
(1)若x＋y≠3，则x≠1或 y≠2；栏 目链 Nhomakorabea接
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条 件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．
变式 迁移
1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．
(1)当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc；
(2)若 cos α＝12，则 α＝－π3 .
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解析：(1)由于原命题与其逆命题“当 c>0 时，若 ac>bc，则 a>b” 目
均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．
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(2)命题“若 cos α＝12，则 α＝π3 ”是假命题，因为，由 cos α＝21得