第一章解直角三角形达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.cos 30°的值为()A.12 B.32 C.22 D.332．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是()A.2B.8C.2 5D.4 53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.253 D.524．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于()A.14.7°B.14°7′C.75.3°D.75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是()A.CD＝b sin 33°＋aB.CD＝b cos 33°＋aC.CD＝b tan 33°＋aD.CD＝btan 33°＋a7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是()A.2B.255 C.55 D.128．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，则BC等于()A.2B. 6C.2 2D.1＋ 39．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82 mB.163 mC.52 mD.30 m10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A.60°B.45°C.15°D.90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________．12．若反比例函数y＝kx的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________．13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，则AB＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5 m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________ (结果精确到0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n mi l e的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是________n mi l e(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 023)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C 处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mi l e/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)答案 一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，∴tan 52°＝AB BE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .易得四边形BCA ′D 为矩形，∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)．∵AB ＝0.3 m ，∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m.∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m.19．2420.23 点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12； (2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2.22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k .∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD ＝2.∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45. 由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD .∴AD ＝CD . ∴BD ＝BC －CD ＝200－AD .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )．∴AD ＋3AD ＝200 3. ∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)． 答：该河段的宽度为(300－1003)m .25．解：如图，过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP＝x n mile.在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠P AC＝90°－60°＝30°，∴tan∠P AC＝CPAP＝33. ∴CP＝33x n mile.在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠P AB＝45°，∴BP＝AP＝x n mile.∵PC＋BP＝BC＝30×12＝15(n mile)，∴33x＋x＝15.解得x＝15（3－3）2.∴PB＝15（3－3）2n mile.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B处开始航行3－34h，离观测点A的距离最近．26．解：(1)如图，连接P A.由已知得AP＝39 m，在Rt△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H的距离为36 m.(2)由题意，隔音板位置应从P到Q，在Rt△ADH中，DH＝AHtan 30°＝1533＝153(m)；在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m长．。